Номер 5, страница 86 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, площадь треугольника $AOB$ равна $15 \text{ см}^2$. Высота, проведенная из вершины $C$ к $AD$, равна $6 \text{ см}$. Найдите длину стороны $BC$ параллелограмма.

Диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника с равной площадью. В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, образуя четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Их площади равны: $S_{AOB} = S_{BOC} = S_{COD} = S_{DOA}$.

Поскольку площадь треугольника $AOB$ равна $15 \, \text{см}^2$, то общая площадь параллелограмма $ABCD$ будет в четыре раза больше: $S_{ABCD} = 4 \cdot S_{AOB} = 4 \cdot 15 \, \text{см}^2 = 60 \, \text{см}^2$.

Площадь параллелограмма также можно найти по формуле произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию: $S = a \cdot h_a$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Высота, проведенная из вершины $C$ к стороне $AD$, представляет собой расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC$. Эта высота, равная по условию $6 \, \text{см}$, является общей высотой для оснований $AD$ и $BC$.

Мы можем найти длину стороны $BC$, используя ее в качестве основания. Подставим известные значения в формулу площади параллелограмма: $S_{ABCD} = BC \cdot h$, где $h = 6 \, \text{см}$.
$60 \, \text{см}^2 = BC \cdot 6 \, \text{см}$.

Отсюда выразим длину стороны $BC$:
$BC = \frac{60 \, \text{см}^2}{6 \, \text{см}} = 10 \, \text{см}$.

Ответ: 10 см.