Номер 10, страница 71 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $0.1x^2 + 0.7x - 1.2 = 0$. Найдите значение выражения $\frac{x_1x_2}{-3x_1^2 - 3x_2^2}$.

Для решения этой задачи не требуется находить сами корни уравнения. Вместо этого мы можем использовать теорему Виета. Для квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ теорема Виета утверждает, что сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение корней равно $x_1x_2 = \frac{c}{a}$.

В нашем уравнении $0,1x^2 + 0,7x - 1,2 = 0$ коэффициенты следующие: $a = 0,1$, $b = 0,7$, $c = -1,2$.

Применим теорему Виета для нахождения суммы и произведения корней:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{0,7}{0,1} = -7$.
Произведение корней: $x_1x_2 = \frac{-1,2}{0,1} = -12$.

Теперь преобразуем выражение, значение которого нужно найти: $\frac{x_1x_2}{-3x_1^2 - 3x_2^2}$.

Сначала упростим знаменатель, вынеся за скобки общий множитель $-3$:
$-3x_1^2 - 3x_2^2 = -3(x_1^2 + x_2^2)$.
Таким образом, выражение принимает вид: $\frac{x_1x_2}{-3(x_1^2 + x_2^2)}$.

Далее, нам нужно выразить сумму квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$ через уже известные нам сумму и произведение корней. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Из этой формулы выразим $x_1^2 + x_2^2$:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим в это выражение ранее вычисленные значения $x_1 + x_2 = -7$ и $x_1x_2 = -12$:
$x_1^2 + x_2^2 = (-7)^2 - 2(-12) = 49 + 24 = 73$.

Наконец, подставим все найденные значения в исходное выражение:
$\frac{x_1x_2}{-3(x_1^2 + x_2^2)} = \frac{-12}{-3 \cdot 73} = \frac{-12}{-219}$.
Упростим полученную дробь. Отрицательные знаки в числителе и знаменателе взаимно уничтожаются. Дробь $\frac{12}{219}$ можно сократить на 3, так как сумма цифр числителя ($1+2=3$) и знаменателя ($2+1+9=12$) делится на 3.
$\frac{12 \div 3}{219 \div 3} = \frac{4}{73}$.

Ответ: $\frac{4}{73}$