Номер 8, страница 71 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Из Фаниполя в Юцковские родники, расстояние между которыми равно 20 км, вышел турист. Одновременно с ним (по одному и тому же маршруту) из Юцковских родников в Фаниполь выехал велосипедист, скорость которого в 4 раза больше скорости пешехода. Сколько километров осталось пройти туристу до Юцковских родников после встречи с велосипедистом?

Для решения задачи введем переменные и составим уравнения, описывающие движение туриста и велосипедиста.

Пусть $v_т$ — скорость туриста (пешехода) в км/ч, а $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч. Общее расстояние $S$ между Фаниполем и Юцковскими родниками составляет 20 км.

Согласно условию, скорость велосипедиста в 4 раза больше скорости туриста:

$v_в = 4 \cdot v_т$

Поскольку турист и велосипедист движутся навстречу друг другу, их общая скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_т + v_в$

Подставим известное соотношение скоростей:

$v_{сбл} = v_т + 4 \cdot v_т = 5 \cdot v_т$

Время $t$, через которое они встретятся, можно найти, разделив общее расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{20 \text{ км}}{5 \cdot v_т} = \frac{4}{v_т}$ часов.

Теперь найдем расстояние, которое прошел турист от Фаниполя до места встречи ($S_т$). Для этого умножим его скорость на время движения:

$S_т = v_т \cdot t = v_т \cdot \frac{4}{v_т} = 4$ км.

Таким образом, встреча произошла на расстоянии 4 км от Фаниполя, откуда вышел турист.

Задача спрашивает, сколько километров осталось пройти туристу до Юцковских родников после встречи. Чтобы найти это расстояние, нужно из общего расстояния вычесть то расстояние, которое турист уже прошел:

Оставшееся расстояние $= S - S_т = 20 \text{ км} - 4 \text{ км} = 16$ км.

Для проверки можно найти расстояние, которое проехал велосипедист от Юцковских родников до места встречи ($S_в$). Оно равно:

$S_в = v_в \cdot t = (4 \cdot v_т) \cdot \frac{4}{v_т} = 16$ км.

Поскольку велосипедист выехал из Юцковских родников, место встречи находится на расстоянии 16 км от них. Это и есть то расстояние, которое осталось пройти туристу до своей цели.

Ответ: 16 км.