Номер 10, страница 69 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, $AB=CD$, диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$, угол $BAC$ равен углу $DAC$. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника $ADC$ равна $12\text{ см}^2$.

Поскольку трапеция $ABCD$ является равнобедренной ($AB=CD$), углы при ее основаниях равны. В частности, $\angle BAD = \angle CDA$.

По условию, диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle BAD$, так как $\angle BAC = \angle DAC$.

Углы $\angle DAC$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$, следовательно, они равны: $\angle BCA = \angle DAC$.

Из двух предыдущих пунктов следует, что $\angle BAC = \angle BCA$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Учитывая, что трапеция равнобедренная ($AB=CD$), получаем равенство трех сторон: $AB = BC = CD$.

Обозначим $\angle DAC = \alpha$. Тогда $\angle BAC = \alpha$, и весь угол при основании $AD$ равен $\angle BAD = 2\alpha$.

По свойству равнобедренной трапеции, $\angle CDA = \angle BAD = 2\alpha$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. По условию, диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$, значит, $\angle ACD = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ADC$ — прямоугольный.

Сумма углов в треугольнике $ADC$ равна $180^\circ$: $\angle DAC + \angle CDA + \angle ACD = 180^\circ$ $\alpha + 2\alpha + 90^\circ = 180^\circ$ $3\alpha = 90^\circ$ $\alpha = 30^\circ$

Теперь мы знаем углы трапеции: $\angle DAC = 30^\circ$ $\angle CDA = 2\alpha = 60^\circ$ $\angle BAD = 2\alpha = 60^\circ$ $\angle ABC = \angle BCD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ADC$ нам известна площадь $S_{ADC} = 12$ см². Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD = 12$, откуда $AC \cdot CD = 24$.

В этом же треугольнике отношение катетов связано с тангенсом угла $\angle DAC$: $\text{tg}(\angle DAC) = \frac{CD}{AC}$ $\text{tg}(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{CD}{AC}$, откуда $AC = CD\sqrt{3}$.

Подставим это соотношение в уравнение для площади: $(CD\sqrt{3}) \cdot CD = 24$ $CD^2\sqrt{3} = 24$ $CD^2 = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{8 \cdot 3}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$.

Площадь трапеции $S_{ABCD}$ можно найти как сумму площадей треугольников $ABC$ и $ADC$. $S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC}$.

Площадь $S_{ADC}$ нам известна ($12$ см²), найдем площадь $S_{ABC}$.

Используем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$.

Мы установили, что $AB = BC = CD$, а $\angle ABC = 120^\circ$. $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot CD \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot CD^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{CD^2\sqrt{3}}{4}$.

Подставим найденное значение $CD^2 = 8\sqrt{3}$: $S_{ABC} = \frac{(8\sqrt{3})\sqrt{3}}{4} = \frac{8 \cdot 3}{4} = \frac{24}{4} = 6$ см².

Теперь находим общую площадь трапеции: $S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = 6 + 12 = 18$ см².

Ответ: $18$ см².