Номер 7, страница 69 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. $ABCD$ — прямоугольник с периметром, равным 42 см, у которого $BD = 15$ см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ADC$.

Пусть $AD$ и $CD$ — стороны прямоугольника $ABCD$. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(AD + CD)$. По условию задачи периметр равен 42 см, следовательно: $2(AD + CD) = 42$ см.

Отсюда находим сумму смежных сторон прямоугольника: $AD + CD = \frac{42}{2} = 21$ см.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Так как $ABCD$ является прямоугольником, все его углы прямые, в том числе $\angle D = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $ADC$ — прямоугольный. Его катетами являются стороны прямоугольника $AD$ и $CD$, а гипотенузой — диагональ $AC$.

Важным свойством прямоугольника является равенство его диагоналей. Таким образом, $AC = BD$. Из условия задачи мы знаем, что $BD = 15$ см, значит, и гипотенуза $AC$ треугольника $ADC$ также равна 15 см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно вычислить по формуле, которая связывает длины катетов ($a$, $b$) и гипотенузы ($c$): $r = \frac{a + b - c}{2}$

Применим эту формулу к треугольнику $ADC$. Мы уже нашли, что сумма его катетов $AD + CD = 21$ см, а его гипотенуза $AC = 15$ см. Подставим эти значения в формулу: $r = \frac{(AD + CD) - AC}{2} = \frac{21 - 15}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Ответ: 3 см.