Номер 10, страница 67 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, $AB = CD$, диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$, угол $BAC$ равен углу $DAC$. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника $ACD$ равна $6 \, \text{см}^2$.

Поскольку трапеция $ABCD$ является равнобедренной ($AB = CD$), углы при её основании равны: $\angle DAB = \angle CDA$.
По условию, диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle DAB$, поэтому $\angle BAC = \angle DAC$. Обозначим $\angle DAC = \alpha$. Тогда $\angle BAC = \alpha$, и полный угол при основании $\angle DAB = \angle BAC + \angle DAC = 2\alpha$. Соответственно, $\angle CDA = 2\alpha$.
Рассмотрим треугольник $ACD$. По условию, диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$, следовательно, $\angle ACD = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике $ACD$ составляет $180^\circ$:
$\angle DAC + \angle CDA + \angle ACD = 180^\circ$
$\alpha + 2\alpha + 90^\circ = 180^\circ$
$3\alpha = 90^\circ$
$\alpha = 30^\circ$
Таким образом, мы нашли углы: $\angle DAC = 30^\circ$ и $\angle CDA = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.
Так как основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), то накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны: $\angle BCA = \angle DAC = 30^\circ$.
Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $\angle BAC = \alpha = 30^\circ$ и $\angle BCA = 30^\circ$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $AB = BC$.
Учитывая, что $AB = CD$ (из условия равнобедренной трапеции), получаем, что $BC = CD$.
Площадь трапеции $S_{ABCD}$ является суммой площадей треугольников $ACD$ и $ABC$: $S_{ABCD} = S_{ACD} + S_{ABC}$.
Площадь треугольника $ACD$ дана по условию: $S_{ACD} = 6 \text{ см}^2$.
Так как $\triangle ACD$ — прямоугольный, его площадь равна $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD = 6$.
Площадь треугольника $ABC$ найдем по формуле площади через две стороны и угол между ними:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle BCA)$
Подставив $BC = CD$ и $\angle BCA = 30^\circ$, получим:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD \cdot \sin(30^\circ) = \left(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD\right) \cdot \frac{1}{2}$
Поскольку $\frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD = S_{ACD} = 6$, то:
$S_{ABC} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ см}^2$.
Следовательно, площадь всей трапеции равна:
$S_{ABCD} = S_{ACD} + S_{ABC} = 6 + 3 = 9 \text{ см}^2$.

Ответ: 9 см².