Номер 3, страница 66 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) окружность, вписанная в треугольник, касается всех его сторон;

б) синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе;

в) средняя линия треугольника равна половине его основания;

г) радиус окружности, описанной около треугольника со стороной a и противолежащим ей углом $\alpha$, можно найти из формулы $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$ ?

Для того чтобы определить, какое из утверждений неверно, проанализируем каждое из них.

а) окружность, вписанная в треугольник, касается всех его сторон;

Это утверждение является определением окружности, вписанной в треугольник. По определению, вписанная окружность — это окружность, которая находится внутри треугольника и касается всех трёх его сторон в одной точке для каждой стороны. Следовательно, это утверждение является верным.

Ответ: Верно.

б) синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе;

Это утверждение является неверным. Согласно определению тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:

• Синус острого угла – это отношение противолежащего (лежащего напротив угла) катета к гипотенузе: $ \sin\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $.
• Косинус острого угла – это отношение прилежащего (примыкающего к углу) катета к гипотенузе: $ \cos\alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $.

Утверждение ошибочно приписывает синусу определение косинуса.

Ответ: Неверно.

в) средняя линия треугольника равна половине его основания;

Это утверждение является верным. Согласно теореме о средней линии треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (средняя линия), параллелен третьей стороне и равен её половине. Третью сторону в данном контексте называют основанием. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Верно.

г) радиус окружности, описанной около треугольника со стороной а и противолежащим ей углом α, можно найти из формулы $ \frac{a}{\sin\alpha} = 2R $?

Это утверждение является верным. Данная формула — это часть расширенной теоремы синусов, которая гласит, что отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла постоянно и равно диаметру ($ 2R $) описанной около этого треугольника окружности: $ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R $. Утверждение представляет собой правильное применение этой теоремы.

Ответ: Верно.

Таким образом, единственное неверное утверждение из предложенных — это утверждение б).