Номер 7, страница 64 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. В соревнованиях по мини-футболу каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Оказалось, что сыграно всего 28 игр. Сколько команд участвовало в соревнованиях?

Пусть $n$ — количество команд, участвовавших в соревнованиях. В турнире, где каждая команда играет с каждой другой ровно один раз (круговая система), общее количество игр равно числу способов выбрать 2 команды из $n$ имеющихся. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по 2 вычисляется по формуле: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

По условию задачи, всего было сыграно 28 игр. Составим уравнение, приравняв формулу к известному числу игр: $\frac{n(n-1)}{2} = 28$

Для решения этого уравнения сначала умножим обе его части на 2: $n(n-1) = 56$

Далее можно раскрыть скобки и решить полученное квадратное уравнение $n^2 - n - 56 = 0$ через дискриминант, но проще решить его методом подбора. Нам нужно найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 56. Такими числами являются 8 и 7, поскольку $8 \times 7 = 56$.

Из уравнения $n(n-1) = 8 \times 7$ следует, что $n=8$. Второй корень квадратного уравнения ($n=-7$) не имеет физического смысла, так как количество команд не может быть отрицательным числом.

Проверим полученный результат. Если в турнире участвовало 8 команд, то общее число игр составит: $\frac{8 \times (8-1)}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 8.