Номер 3, страница 64 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) у любого параллелограмма диагонали равны;

б) сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$;

в) если квадрат некоторой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник — прямоугольный;

г) вписанный угол окружности, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$?

а) у любого параллелограмма диагонали равны; Данное утверждение неверно. Равенство диагоналей является свойством только частных случаев параллелограмма — прямоугольника и квадрата. В общем случае параллелограмма, который не является прямоугольником, диагонали имеют разную длину. Например, для параллелограмма со сторонами $a$ и $b$ и острым углом $\alpha$ между ними, квадраты длин диагоналей можно найти по теореме косинусов: $d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$ и $d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \alpha) = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$. Поскольку для угла $\alpha$, не равного $90^\circ$, значение $\cos(\alpha)$ не равно нулю, то $d_1^2 \neq d_2^2$, и, следовательно, $d_1 \neq d_2$.
Ответ: неверно.

б) сумма внутренних углов треугольника равна 180°; Это утверждение является одной из основных теорем евклидовой геометрии. Сумма величин трех внутренних углов любого треугольника на плоскости всегда равна $180^\circ$.
Ответ: верно.

в) если квадрат некоторой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник — прямоугольный; Это утверждение верно и известно как теорема, обратная теореме Пифагора. Если для треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство $c^2 = a^2 + b^2$, то угол, противолежащий стороне $c$, является прямым ($90^\circ$), а сам треугольник — прямоугольным.
Ответ: верно.

г) вписанный угол окружности, опирающийся на диаметр, равен 90°? Это утверждение верно. Согласно свойству вписанных углов, величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается. Угол, опирающийся на диаметр, опирается на полуокружность, градусная мера которой составляет $180^\circ$. Следовательно, величина такого вписанного угла равна $\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.
Ответ: верно.

Таким образом, единственным неверным утверждением из предложенных является утверждение а).