Номер 10, страница 65 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Даны треугольник $ABC$ и окружность, которая проходит через вершины $A$ и $B$ и пересекает стороны $AC$ и $BC$ соответственно в точках $N$ и $M$, где $AN = 13$ см, $BM = 8$ см, $MC = 4$ см. Найдите площадь треугольника $ABC$, если

$\cos C = \frac{\sqrt{11}}{6}$.

Поскольку точки A, B, M, N лежат на одной окружности, четырехугольник ABMN является вписанным.

Рассмотрим треугольники $\triangle NMC$ и $\triangle ABC$.
1. Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников.
2. Для вписанного четырехугольника ABMN сумма противоположных углов равна $180^\circ$, то есть $\angle ANM + \angle ABM = 180^\circ$. Также, поскольку $\angle CNM$ и $\angle ANM$ являются смежными, их сумма также равна $180^\circ$. Отсюда следует, что $\angle CNM = \angle ABM$, то есть $\angle CNM = \angle ABC$.
Таким образом, $\triangle NMC$ подобен $\triangle ABC$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует соотношение их сторон:
$\frac{NC}{BC} = \frac{MC}{AC}$

Это соотношение также известно как теорема о секущих, проведенных из одной точки (точки C) к окружности: $CN \cdot CA = CM \cdot CB$.

Нам даны длины отрезков: $AN = 13$ см, $BM = 8$ см, $MC = 4$ см.
Найдем длину стороны $BC$:
$BC = BM + MC = 8 + 4 = 12$ см.
Обозначим длину отрезка $NC$ как $x$. Тогда длина стороны $AC$ будет:
$AC = AN + NC = 13 + x$.

Подставим эти значения в уравнение $NC \cdot AC = MC \cdot BC$:
$x \cdot (13 + x) = 4 \cdot 12$
$13x + x^2 = 48$
$x^2 + 13x - 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 169 + 192 = 361$
$\sqrt{D} = 19$
$x_{1,2} = \frac{-13 \pm 19}{2}$
Поскольку $x$ — это длина отрезка, она не может быть отрицательной. Выбираем положительный корень:
$x = \frac{-13 + 19}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Итак, NC = 3 см.

Теперь мы можем найти полную длину стороны $AC$:
$AC = 13 + x = 13 + 3 = 16$ см.
Таким образом, мы знаем две стороны треугольника ABC и косинус угла между ними: AC = 16 см, BC = 12 см, и $\cos C = \frac{\sqrt{11}}{6}$.

Площадь треугольника ABC вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$. В нашем случае:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin C$.

Найдем $\sin C$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$.
$\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - \left(\frac{\sqrt{11}}{6}\right)^2 = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36}$.
Так как C — угол в треугольнике, $\sin C$ должен быть положительным:
$\sin C = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}$.

Подставляем все значения в формулу площади:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 \cdot \frac{5}{6} = 8 \cdot 12 \cdot \frac{5}{6} = 8 \cdot 2 \cdot 5 = 80$ см².

Ответ: 80 см².