Номер 9, страница 65 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. В арифметической прогрессии $S_4 = 80$. Чему равна $S_6$, если $a_1 = d$?

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а её разность — как $d$.

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

По условию задачи, сумма первых четырех членов равна 80, то есть $S_4 = 80$. Подставим $n=4$ в формулу:
$S_4 = \frac{2a_1 + (4-1)d}{2} \cdot 4 = (2a_1 + 3d) \cdot 2$

Приравняем это выражение к 80 и упростим:
$(2a_1 + 3d) \cdot 2 = 80$
$2a_1 + 3d = 40$

Второе условие задачи гласит, что первый член равен разности прогрессии:
$a_1 = d$

Теперь мы можем подставить $a_1$ вместо $d$ в уравнение, полученное из суммы первых четырех членов:
$2a_1 + 3a_1 = 40$
$5a_1 = 40$
$a_1 = \frac{40}{5} = 8$

Поскольку $a_1 = d$, то и разность прогрессии $d = 8$.

Теперь найдем сумму шести первых членов этой прогрессии, $S_6$. Воспользуемся той же формулой суммы для $n=6$, подставив найденные значения $a_1 = 8$ и $d = 8$:
$S_6 = \frac{2a_1 + (6-1)d}{2} \cdot 6$
$S_6 = (2a_1 + 5d) \cdot 3$
$S_6 = (2 \cdot 8 + 5 \cdot 8) \cdot 3$
$S_6 = (16 + 40) \cdot 3$
$S_6 = 56 \cdot 3 = 168$

Ответ: 168