Номер 5, страница 64 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Найдите периметр ромба, диагонали которого равны 24 см и 10 см.

Чтобы найти периметр ромба, необходимо знать длину его стороны. Обозначим сторону ромба буквой $a$.

Воспользуемся ключевыми свойствами ромба:

• Все четыре стороны ромба равны.
• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).
• В точке пересечения диагонали делятся пополам.

Эти свойства означают, что диагонали делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике гипотенузой является сторона ромба ($a$), а катетами — половины его диагоналей.

По условию задачи, длины диагоналей равны $d_1 = 24$ см и $d_2 = 10$ см.
Найдем длины катетов прямоугольного треугольника, которые являются половинами диагоналей:
Катет 1: $k_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.
Катет 2: $k_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь мы можем найти длину стороны ромба ($a$) с помощью теоремы Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ($a^2 = k_1^2 + k_2^2$):
$a^2 = 12^2 + 5^2$
$a^2 = 144 + 25$
$a^2 = 169$
$a = \sqrt{169}$
$a = 13$ см.

Итак, длина стороны ромба равна 13 см. Периметр ромба ($P$) — это сумма длин всех его четырех сторон. Поскольку все стороны равны, формула для вычисления периметра: $P = 4a$.
$P = 4 \times 13 = 52$ см.

Ответ: 52 см.