Номер 9, страница 63 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. В арифметической прогрессии сумма трех первых членов равна 246. Чему равна сумма пяти первых членов этой прогрессии, если ее первый член равен разности прогрессии?

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а ее разность как $d$.

Согласно условию, сумма трех первых членов прогрессии $S_3$ равна 246. Выразим первые три члена через $a_1$ и $d$:

$a_1$

$a_2 = a_1 + d$

$a_3 = a_1 + 2d$

Сумма этих членов равна:

$S_3 = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 246$

Упростим полученное выражение:

$3a_1 + 3d = 246$

Разделим обе части уравнения на 3:

$a_1 + d = 82$

По второму условию задачи, первый член равен разности прогрессии:

$a_1 = d$

Теперь мы можем подставить $d = a_1$ в уравнение $a_1 + d = 82$:

$a_1 + a_1 = 82$

$2a_1 = 82$

$a_1 = \frac{82}{2} = 41$

Так как $a_1 = d$, то и разность прогрессии $d = 41$.

Далее найдем сумму пяти первых членов этой прогрессии ($S_5$). Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Подставим в формулу значения $n=5$, $a_1=41$ и $d=41$:

$S_5 = \frac{2 \cdot 41 + (5-1) \cdot 41}{2} \cdot 5$

Выполним вычисления:

$S_5 = \frac{82 + 4 \cdot 41}{2} \cdot 5 = \frac{82 + 164}{2} \cdot 5 = \frac{246}{2} \cdot 5 = 123 \cdot 5 = 615$

Ответ: 615