Номер 10, страница 63 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Даны треугольник $ABC$ и окружность, которая проходит через вершины $B$ и $C$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ соответственно в точках $M$ и $N$, где $BM = 14$ см, $AN = 8$ см, $NC = 7$ см. Найдите площадь треугольника $ABC$, если

$\cos A = \frac{\sqrt{19}}{10}$.

Для нахождения площади треугольника $ABC$ воспользуемся формулой $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A$.

Сначала найдем длины сторон $AB$ и $AC$. Длина стороны $AC$ равна сумме длин отрезков $AN$ и $NC$:

$AC = AN + NC = 8 \text{ см} + 7 \text{ см} = 15 \text{ см}$.

Для нахождения длины стороны $AB$ воспользуемся свойством секущих. Поскольку точки $B, C, N, M$ лежат на одной окружности, прямые $AB$ и $AC$ являются секущими к этой окружности, проведенными из точки $A$. Согласно теореме о секущих, произведение длины всей секущей на ее внешнюю часть постоянно для данной точки и окружности. Таким образом, справедливо равенство:

$AM \cdot AB = AN \cdot AC$

Обозначим длину отрезка $AM$ через $x$. Тогда длина стороны $AB$ будет равна $AM + BM = x + 14$. Подставим известные и вычисленные значения в уравнение:

$x \cdot (x + 14) = 8 \cdot 15$

$x^2 + 14x = 120$

$x^2 + 14x - 120 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676 = 26^2$.

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{676}}{2} = \frac{-14 \pm 26}{2}$.

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:

$x = \frac{-14 + 26}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Следовательно, $AM = 6 \text{ см}$.

Теперь мы можем найти полную длину стороны $AB$:

$AB = AM + BM = 6 \text{ см} + 14 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Далее, найдем $\sin A$, зная, что $\cos A = \frac{\sqrt{19}}{10}$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$:

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{19}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{19}{100} = \frac{81}{100}$.

Поскольку $A$ — это угол треугольника, $\sin A$ должен быть положительным. Таким образом:

$\sin A = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10}$.

Наконец, подставим все найденные значения в формулу для площади треугольника:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 \cdot \frac{9}{10}$.

$S_{ABC} = 10 \cdot 15 \cdot \frac{9}{10} = 15 \cdot 9 = 135$.

Ответ: $135 \text{ см}^2$.