Номер 483, страница 121 - гдз по физике 7 класс сборник задач Исаченкова, Гладков

Решение

Механическая работа $\text{A}$, совершаемая для подъема тела, определяется формулой $A = F \cdot h$, где $\text{F}$ – приложенная сила, а $\text{h}$ – высота, на которую тело поднимают. При подъеме воды против силы тяжести работа равна изменению ее потенциальной энергии: $A = mgh$, где $\text{m}$ – масса поднимаемой воды, $\text{g}$ – ускорение свободного падения, а $\text{h}$ – высота подъема.

В задаче и Саша, и Петя вычерпывают одинаковое количество воды, а значит, и одинаковую массу. Пусть полная масса воды в бочке была $\text{M}$. Тогда каждый из них вычерпал массу $m = M/2$. Однако работа, которую они совершили, будет разной, так как они поднимали воду с разной средней высоты.

Саша вычерпывал верхнюю половину воды. Эта вода расположена ближе к краю бочки, поэтому средняя высота, на которую ему приходилось поднимать каждую порцию воды, была меньше.

Петя вычерпывал нижнюю половину воды. Чтобы поднять ее до края бочки, ему приходилось преодолевать большее расстояние по вертикали. Следовательно, средняя высота подъема для Пети была больше.

Чтобы доказать это строго, можно рассчитать работу для каждого. Представим, что бочка — это цилиндр высотой $\text{H}$. Работа по вычерпыванию части жидкости равна изменению ее потенциальной энергии. Работа, которую нужно совершить, чтобы поднять массу жидкости $\text{m}$ с начальной высоты центра масс $h_{начальная}$ до конечной высоты $h_{конечная}$ (край бочки), равна $A = mg(h_{конечная} - h_{начальная})$.

Работа Саши

Саша вычерпывает верхнюю половину воды, расположенную на высоте от $H/2$ до $\text{H}$. Центр масс этой части воды находится на высоте $h_{цм\_С} = \frac{H/2 + H}{2} = \frac{3}{4}H$. Чтобы вычерпать эту воду, ее нужно поднять до края бочки (высота $\text{H}$). Работа, совершенная Сашей: $A_С = m \cdot g \cdot (H - h_{цм\_С}) = \frac{M}{2} g (H - \frac{3}{4}H) = \frac{M}{2} g \frac{H}{4} = \frac{1}{8}MgH$.

Работа Пети

Петя вычерпывает нижнюю половину воды, расположенную на высоте от $\text{0}$ до $H/2$. Центр масс этой части воды находится на высоте $h_{цм\_П} = \frac{0 + H/2}{2} = \frac{1}{4}H$. Чтобы вычерпать эту воду, ее нужно поднять до края бочки (высота $\text{H}$). Работа, совершенная Петей: $A_П = m \cdot g \cdot (H - h_{цм\_П}) = \frac{M}{2} g (H - \frac{1}{4}H) = \frac{M}{2} g \frac{3H}{4} = \frac{3}{8}MgH$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $A_П = 3A_С$. Это означает, что Петя совершил в три раза большую работу, чем Саша.

Ответ: Нет, Саша и Петя совершили разную механическую работу. Петя совершил большую работу, чем Саша, поскольку он поднимал воду с большей средней глубины.