Номер 3, страница 26 - гдз по физике 7 класс тесты Шабусов, Батурчик

3. Путь, пройденный телом, численно равен...

а) длине отрезка, соединяющего две точки графика зависимости пути от времени $s(t)$;

б) длине отрезка, соединяющего две точки графика зависимости скорости от времени $v(t)$;

в) площади, занимаемой графиком зависимости скорости от времени $v(t)$;

г) площади фигуры под графиком зависимости пути от времени $s(t)$;

д) площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени $v(t)$.

Решение

Для ответа на этот вопрос рассмотрим взаимосвязь между путем, скоростью и временем. Мгновенная скорость $v(t)$ является производной от пути $s(t)$ по времени $\text{t}$ (то есть скорость показывает, как быстро изменяется путь со временем):

$v(t) = \frac{ds(t)}{dt}$

Из этого соотношения следует, что для нахождения пути, пройденного телом за конечный промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, необходимо выполнить обратную операцию — интегрирование. Пройденный путь $\text{s}$ равен определенному интегралу от скорости по времени на этом промежутке:

$s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$

С точки зрения геометрии, определенный интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной графиком подынтегральной функции (в данном случае — графиком зависимости скорости от времени $v(t)$), осью абсцисс (осью времени $\text{t}$) и вертикальными прямыми $t = t_1$ и $t = t_2$. Эта фигура и называется "фигурой под графиком".

Теперь проанализируем предложенные варианты ответа, основываясь на этом выводе:

а) длине отрезка, соединяющего две точки графика зависимости пути от времени s(t);
Это утверждение неверно. Пройденный путь за интервал времени от $t_1$ до $t_2$ равен разности координат $s(t_2) - s(t_1)$. Длина отрезка, соединяющего точки $(t_1, s(t_1))$ и $(t_2, s(t_2))$, вычисляется по формуле $\sqrt{(t_2-t_1)^2 + (s(t_2)-s(t_1))^2}$ и, в общем случае, не равна пройденному пути.

б) длине отрезка, соединяющего две точки графика зависимости скорости от времени v(t);
Это утверждение неверно. Длина отрезка на графике зависимости скорости от времени не имеет прямого отношения к пройденному пути. Эта величина характеризует изменение скорости и времени, но не сам путь.

в) площади, занимаемой графиком зависимости скорости от времени v(t);
Данная формулировка является некорректной. График — это линия, а линия не имеет площади. Скорее всего, имелась в виду площадь под графиком, но из-за неточности формулировки этот вариант менее предпочтителен, чем вариант д).

г) площади фигуры под графиком зависимости пути от времени s(t);
Это утверждение неверно. Площадь под графиком зависимости пути от времени $s(t)$ соответствует интегралу $\int s(t) dt$. Физический смысл этой величины не соответствует пути. Размерность этой площади будет (единица пути) × (единица времени), например, метр-секунда, что не является единицей пути (метр).

д) площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени v(t).
Это утверждение верно. Как было показано в теоретической части, пройденный путь $s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$ численно равен площади фигуры под графиком $v(t)$ на интервале от $t_1$ до $t_2$. Размерность этой площади соответствует размерности пути: (единица скорости) × (единица времени) = (длина/время) × (время) = длина.

Ответ: д) площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени v(t).