Номер 375, страница 68 - гдз по физике 8 класс сборник задач Исаченкова, Слесарь

Дано:

$m_{ж} = m_{а}$ (массы железной и алюминиевой проволок равны)

$S_{ж} = S_{а}$ (площади поперечных сечений равны)

Табличные данные:

Удельное сопротивление железа: $\rho_{ж} = 0.1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$

Удельное сопротивление алюминия: $\rho_{а} = 0.028 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$

Плотность железа: $d_{ж} = 7800 \frac{кг}{м^3}$

Плотность алюминия: $d_{а} = 2700 \frac{кг}{м^3}$

Найти:

Какая проволока имеет большее сопротивление и во сколько раз? Найти отношение $\frac{R_{ж}}{R_{а}}$.

Решение:

Сопротивление проводника определяется по формуле:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $\text{l}$ — длина проводника, $\text{S}$ — площадь поперечного сечения.

Запишем формулы сопротивления для железной ($R_{ж}$) и алюминиевой ($R_{а}$) проволок:

$R_{ж} = \rho_{ж} \frac{l_{ж}}{S_{ж}}$

$R_{а} = \rho_{а} \frac{l_{а}}{S_{а}}$

По условию задачи площади поперечных сечений равны, $S_{ж} = S_{а} = S$. Длины проволок ($l_{ж}$ и $l_{а}$) нам неизвестны, но мы можем выразить их через массу и плотность.

Масса проводника связана с его объемом $\text{V}$ и плотностью $\text{d}$ соотношением $m = d \cdot V$. Объем проволоки (цилиндра) равен $V = l \cdot S$.

Тогда масса $m = d \cdot l \cdot S$. Отсюда выразим длину проволоки:

$l = \frac{m}{d \cdot S}$

Выразим длины для каждой проволоки, учитывая, что их массы $m_{ж} = m_{а} = m$ и площади $S_{ж} = S_{а} = S$ равны:

$l_{ж} = \frac{m}{d_{ж} \cdot S}$

$l_{а} = \frac{m}{d_{а} \cdot S}$

Теперь подставим выражения для длин в формулы для сопротивления:

$R_{ж} = \rho_{ж} \frac{l_{ж}}{S} = \rho_{ж} \frac{m}{d_{ж} \cdot S \cdot S} = \frac{\rho_{ж} m}{d_{ж} S^2}$

$R_{а} = \rho_{а} \frac{l_{а}}{S} = \rho_{а} \frac{m}{d_{а} \cdot S \cdot S} = \frac{\rho_{а} m}{d_{а} S^2}$

Чтобы сравнить сопротивления, найдем их отношение:

$\frac{R_{ж}}{R_{а}} = \frac{\frac{\rho_{ж} m}{d_{ж} S^2}}{\frac{\rho_{а} m}{d_{а} S^2}}$

Сократив одинаковые величины $\text{m}$ и $S^2$, получим:

$\frac{R_{ж}}{R_{а}} = \frac{\rho_{ж}}{\rho_{а}} \cdot \frac{d_{а}}{d_{ж}}$

Подставим табличные значения удельных сопротивлений и плотностей:

$\frac{R_{ж}}{R_{а}} = \frac{0.1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}}{0.028 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}} \cdot \frac{2700 \frac{кг}{м^3}}{7800 \frac{кг}{м^3}} = \frac{0.1}{0.028} \cdot \frac{27}{78} \approx 3.571 \cdot 0.346 \approx 1.236$

Так как отношение $\frac{R_{ж}}{R_{а}} \approx 1.24 > 1$, сопротивление железной проволоки больше сопротивления алюминиевой.

Ответ: Сопротивление железной проволоки больше сопротивления алюминиевой примерно в 1,24 раза.