номер 5, страница 19 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

5. Вектор $\vec{a}$ перпендикулярен вектору $\vec{b}$. Модули $a = b = 4$. Постройте сумму векторов $\alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$ и разность $\alpha\vec{a} - \beta\vec{b}$, если: а) $\alpha = 2, \beta = 4$; б) $\alpha = -2, \beta = 0,5$.

5. Вектор $\vec{a}$ перпендикулярен вектору $\vec{b}$. Модули $a = b = 4$. Постройте сумму векторов $\alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$ и разность $\alpha\vec{a} - \beta\vec{b}$, если: а) $\alpha = 2$, $\beta = 4$; б) $\alpha = -2$, $\beta = 0,5$.

Дано:
$\vec{a} \perp \vec{b}$ (угол между векторами равен $90^\circ$)
$|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 4$.

Общий принцип построения:
Для удобства отложим исходные векторы от одной точки $O$. Пусть вектор $\vec{a}$ направлен горизонтально вправо, а вектор $\vec{b}$ — вертикально вверх под углом $90^\circ$.
Умножение вектора на число $k$ изменяет его длину в $|k|$ раз. Если $k > 0$, направление сохраняется; если $k < 0$, направление меняется на противоположное.
Поскольку векторы взаимно перпендикулярны, сложение и вычитание векторов сводятся к построению на их основе прямоугольника по правилу параллелограмма, а модули результирующих векторов можно найти по теореме Пифагора.

а)Случай $\alpha = 2$, $\beta = 4$:
1. Находим модули и направления составляющих векторов:
Вектор $\vec{u} = \alpha\vec{a} = 2\vec{a}$. Он сонаправлен с $\vec{a}$, его длина равна $|\vec{u}| = 2 \cdot 4 = 8$.
Вектор $\vec{v} = \beta\vec{b} = 4\vec{b}$. Он сонаправлен с $\vec{b}$, его длина равна $|\vec{v}| = 4 \cdot 4 = 16$.
2. Построение суммы $\vec{s} = 2\vec{a} + 4\vec{b}$:
От точки $O$ откладываем отрезок $OA = 8$ вправо (вектор $2\vec{a}$) и отрезок $OB = 16$ вверх (вектор $4\vec{b}$). Достраиваем эти отрезки до прямоугольника $OACB$. Диагональ $\vec{OC}$, направленная из точки $O$ в вершину $C$, является вектором суммы $\vec{s}$.
Модуль суммы:
$$|\vec{s}| = \sqrt{|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2} = \sqrt{8^2 + 16^2} = \sqrt{64 + 256} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}$$
3. Построение разности $\vec{d} = 2\vec{a} - 4\vec{b}$:
По правилу вычитания векторов, отложенных от общего начала, вектор разности $\vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB}$ соединяет конец вычитаемого вектора $4\vec{b}$ с концом уменьшаемого вектора $2\vec{a}$ (то есть направлен из точки $B$ в точку $A$).
Либо строим вектор $-4\vec{b}$ (длиной 16, направленный вертикально вниз) и складываем его с вектором $2\vec{a}$ по правилу параллелограмма.
Модуль разности:
$$|\vec{d}| = \sqrt{|\vec{u}|^2 + |-\vec{v}|^2} = \sqrt{8^2 + 16^2} = 8\sqrt{5}$$

б)Случай $\alpha = -2$, $\beta = 0,5$:
1. Находим модули и направления составляющих векторов:
Вектор $\vec{u} = \alpha\vec{a} = -2\vec{a}$. Он направлен противоположно вектору $\vec{a}$ (влево), его длина равна $|\vec{u}| = |-2| \cdot 4 = 8$.
Вектор $\vec{v} = \beta\vec{b} = 0,5\vec{b}$. Он сонаправлен с $\vec{b}$ (вверх), его длина равна $|\vec{v}| = 0,5 \cdot 4 = 2$.
2. Построение суммы $\vec{s} = -2\vec{a} + 0,5\vec{b}$:
От точки $O$ откладываем вектор $\vec{u} = -2\vec{a}$ влево длиной 8 (точка $A'$) и вектор $\vec{v} = 0,5\vec{b}$ вверх длиной 2 (точка $B'$). Достраиваем их до прямоугольника. Вектор суммы $\vec{s}$ идет из точки $O$ по диагонали во вторую координатную четверть.
Модуль суммы:
$$|\vec{s}| = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$$
3. Построение разности $\vec{d} = -2\vec{a} - 0,5\vec{b}$:
Вектор разности равен сумме $(-2\vec{a}) + (-0,5\vec{b})$. Откладываем от точки $O$ вектор влево длиной 8 и вектор вниз длиной 2. Достраиваем до прямоугольника, диагональ из точки $O$ идет в третью координатную четверть.
Модуль разности:
$$|\vec{d}| = \sqrt{(-8)^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$$

Ответ:
Построение выполнено по правилу прямоугольника (частный случай правила параллелограмма).
а) Длины векторов суммы и разности равны $8\sqrt{5}$;
б) Длины векторов суммы и разности равны $2\sqrt{17}$.