Номер 4, страница 6 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

4. Определите наименьшее целое решение совокупности неравенств

$\left[ \begin{array}{l} x^2 - 3x \le 0, \\ x > -2,5. \end{array} \right.$

Требуется найти наименьшее целое решение совокупности неравенств. Совокупность означает, что нужно найти объединение множеств решений каждого из неравенств.

Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 3x \le 0$.
Для этого найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3x = 0$.
Выносим $x$ за скобки: $x(x - 3) = 0$.
Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2 - 3x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями (включая сами корни).
Таким образом, решение первого неравенства — это промежуток $x \in [0, 3]$.

Теперь решим второе неравенство: $x > -2,5$.
Решением этого неравенства является открытый луч $x \in (-2,5; +\infty)$.

Решением совокупности является объединение решений обоих неравенств:
$[0, 3] \cup (-2,5; +\infty)$.
Отрезок $[0, 3]$ полностью входит в интервал $(-2,5; +\infty)$, поэтому их объединением будет интервал $(-2,5; +\infty)$.

Нам нужно найти наименьшее целое число из полученного множества решений $x \in (-2,5; +\infty)$.
Выпишем целые числа, которые больше $-2,5$: $-2, -1, 0, 1, 2, \dots$
Наименьшим целым числом в этом ряду является $-2$.

Ответ: -2