Номер 6, страница 6 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BC = 10$ см. Высота, проведенная из вершины $C$ к стороне $AD$, равна $6$ см. Найдите площадь треугольника $AOB$.

Поскольку ABCD — параллелограмм, его противолежащие стороны равны. Следовательно, сторона AD равна стороне BC.

$AD = BC = 10$ см.

Площадь параллелограмма вычисляется как произведение его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. В задаче дана высота, проведенная из вершины C к стороне AD, которая равна 6 см. Обозначим эту высоту $h_{AD}$.

Найдем площадь параллелограмма ABCD:

$S_{ABCD} = AD \cdot h_{AD} = 10 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 60 \text{ см}^2$.

Диагонали параллелограмма в точке пересечения O делят его на четыре треугольника с равными площадями: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Это свойство следует из того, что диагонали точкой пересечения делятся пополам ($AO = OC$ и $BO = OD$), а площади треугольников, имеющих равные основания и общую высоту, равны. Например, у треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$ общая высота из вершины B, а их основания $AO$ и $OC$ равны, значит $S_{AOB} = S_{BOC}$. Аналогично доказывается равенство площадей всех четырех треугольников.

Таким образом, площадь искомого треугольника AOB составляет одну четвертую от площади всего параллелограмма:

$S_{AOB} = \frac{1}{4} S_{ABCD}$

Вычислим площадь треугольника AOB:

$S_{AOB} = \frac{60 \text{ см}^2}{4} = 15 \text{ см}^2$.

Ответ: 15 см².