Номер 5, страница 6 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Сократите дробь $\frac{x^2 - 12x + 35}{x^2 - 10x + 25}$ и найдите значение полученной дроби при $x = 3$.

Для решения задачи сначала необходимо сократить дробь. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители.

Сокращение дроби $\frac{x^2 - 12x + 35}{x^2 - 10x + 25}$

1. Разложим на множители числитель $x^2 - 12x + 35$.
Это квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$. Мы можем разложить его, найдя корни уравнения $x^2 - 12x + 35 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней $x_1 + x_2 = -(-12) = 12$
• Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 35$

Подбором находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = 7$.
Таким образом, числитель раскладывается на множители как $(x - 5)(x - 7)$.

2. Разложим на множители знаменатель $x^2 - 10x + 25$.
Это выражение является полным квадратом разности, так как соответствует формуле сокращенного умножения $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Здесь $a = x$ и $b = 5$. Проверим средний член: $-2 \cdot x \cdot 5 = -10x$, что совпадает со вторым слагаемым в знаменателе.
Следовательно, знаменатель можно представить в виде $(x - 5)^2$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и выполним сокращение: $\frac{x^2 - 12x + 35}{x^2 - 10x + 25} = \frac{(x - 5)(x - 7)}{(x - 5)^2}$
Сокращаем общий множитель $(x - 5)$ (при условии, что $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$): $\frac{(x - 5)(x - 7)}{(x - 5)(x - 5)} = \frac{x - 7}{x - 5}$

Нахождение значения полученной дроби при $x = 3$

Теперь подставим значение $x = 3$ в сокращенную дробь $\frac{x - 7}{x - 5}$. Условие $x \neq 5$ выполняется. $\frac{3 - 7}{3 - 5} = \frac{-4}{-2} = 2$

Ответ: $\frac{x - 7}{x - 5}$; 2.