Номер 10, страница 7 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 3 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник, $a$ и $b$ — его катеты, а $c$ — гипотенуза. Вписанная в треугольник окружность касается гипотенузы в точке, которая делит её на отрезки длиной 5 см и 3 см.

Сначала найдем длину гипотенузы $c$. Она равна сумме длин отрезков, на которые ее делит точка касания: $c = 5 + 3 = 8$ см.

Пусть $r$ — радиус вписанной окружности. Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной вершины: отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Если точка касания делит гипотенузу на отрезки $x=5$ см и $y=3$ см, то катеты прямоугольного треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности $r$ и эти отрезки: $a = y + r = 3 + r$ $b = x + r = 5 + r$

Это следует из того, что четырехугольник, образованный вершиной прямого угла, центром вписанной окружности и точками касания на катетах, является квадратом со стороной $r$.

Применим к треугольнику теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим полученные выражения для сторон: $(3 + r)^2 + (5 + r)^2 = 8^2$

Раскроем скобки и упростим уравнение: $(9 + 6r + r^2) + (25 + 10r + r^2) = 64$ $2r^2 + 16r + 34 = 64$ $2r^2 + 16r - 30 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2: $r^2 + 8r - 15 = 0$

Площадь $S$ прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. Подставим выражения для катетов $a$ и $b$: $S = \frac{1}{2}(3 + r)(5 + r)$ $S = \frac{1}{2}(15 + 5r + 3r + r^2)$ $S = \frac{1}{2}(r^2 + 8r + 15)$

Из уравнения $r^2 + 8r - 15 = 0$, полученного ранее, выразим сумму $r^2 + 8r$: $r^2 + 8r = 15$

Подставим это значение в формулу для площади: $S = \frac{1}{2}(15 + 15) = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$ см².

Таким образом, площадь треугольника равна произведению длин отрезков, на которые точка касания вписанной окружности делит гипотенузу.

Ответ: 15 см².