Номер 6, страница 8 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AD = 8 \text{ см}$. Высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, равна $4 \text{ см}$. Найдите площадь треугольника $AOD$.

По условию задачи, $ABCD$ — параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Длина стороны $AD$ равна 8 см. Высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, равна 4 см.

Для нахождения площади треугольника $AOD$ воспользуемся формулой площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ — основание треугольника, а $h_a$ — высота, проведенная к этому основанию.

В качестве основания треугольника $AOD$ возьмем сторону $AD$. Из условия нам известно, что $AD = 8$ см.

Теперь необходимо найти высоту треугольника $AOD$, проведенную из вершины $O$ к основанию $AD$. Обозначим эту высоту как $h_{AOD}$.

В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$). Высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, является расстоянием между этими параллельными прямыми. Обозначим эту высоту параллелограмма как $H$. По условию, $H = 4$ см.

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Точка $O$ является серединой обеих диагоналей. Это означает, что точка $O$ находится на одинаковом расстоянии от параллельных сторон $AD$ и $BC$. Следовательно, высота $h_{AOD}$, проведенная из точки $O$ к стороне $AD$, равна половине высоты всего параллелограмма $H$.

$h_{AOD} = \frac{H}{2} = \frac{4 \text{ см}}{2} = 2 \text{ см}$.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника $AOD$:

$S_{AOD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_{AOD} = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 8 \text{ см}^2$.

Другой способ решения заключается в том, что диагонали делят параллелограмм на четыре равновеликих (имеющих равную площадь) треугольника. Площадь всего параллелограмма равна произведению его основания на высоту: $S_{ABCD} = AD \cdot H = 8 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 32 \text{ см}^2$. Тогда площадь треугольника $AOD$ будет равна одной четвертой от площади параллелограмма: $S_{AOD} = \frac{S_{ABCD}}{4} = \frac{32 \text{ см}^2}{4} = 8 \text{ см}^2$.

Ответ: $8 \text{ см}^2$.