Номер 5, страница 8 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Сократите дробь $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 + 8x + 16}$ и найдите значение полученной дроби при $x = -3$.

Сократите дробь

Для сокращения дроби $\frac{x^2+x-12}{x^2+8x+16}$ необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель.

Разложим числитель $x^2+x-12$. Это квадратный трёхчлен, который можно разложить на множители вида $(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2+x-12=0$.

Воспользуемся теоремой Виета: $x_1+x_2=-1$ $x_1 \cdot x_2=-12$

Подбором находим корни: $x_1=3$ и $x_2=-4$.

Следовательно, числитель раскладывается на множители: $x^2+x-12 = (x-3)(x-(-4)) = (x-3)(x+4)$.

Разложим знаменатель $x^2+8x+16$. Данное выражение является полным квадратом, который можно свернуть по формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

В нашем случае $a=x$ и $b=4$, поэтому: $x^2+8x+16 = x^2+2 \cdot x \cdot 4+4^2=(x+4)^2$.

Теперь подставим разложенные выражения в исходную дробь и выполним сокращение на общий множитель $(x+4)$: $\frac{x^2+x-12}{x^2+8x+16} = \frac{(x-3)(x+4)}{(x+4)^2} = \frac{x-3}{x+4}$.

Сокращение возможно при условии, что $x+4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$.

Ответ: $\frac{x-3}{x+4}$.

Найдите значение полученной дроби при $x = -3$

Подставим значение $x = -3$ в полученную сокращённую дробь $\frac{x-3}{x+4}$. $\frac{-3-3}{-3+4} = \frac{-6}{1} = -6$.

Ответ: $-6$.