Номер 9, страница 9 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Функция $y = f(x)$ нечетная и для $x > 0$ задается формулой

$f(x)=\frac{1}{x}-x^2$. Найдите значение выражения $f\left(-\frac{1}{3}\right)-f(-3)$.

По условию задачи, функция $y = f(x)$ является нечетной. Основное свойство нечетной функции заключается в том, что для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Для положительных значений аргумента ($x > 0$) функция задана формулой $f(x) = \frac{1}{x} - x^2$.

Требуется найти значение выражения $f(-\frac{1}{3}) - f(-3)$.

Поскольку аргументы $-\frac{1}{3}$ и $-3$ отрицательны, мы не можем напрямую применить данную формулу. Сначала воспользуемся свойством нечетности функции, чтобы перейти к положительным аргументам.

Найдем значение $f(-\frac{1}{3})$

Согласно свойству нечетной функции, $f(-\frac{1}{3}) = -f(\frac{1}{3})$.

Аргумент $\frac{1}{3}$ положителен, поэтому для вычисления $f(\frac{1}{3})$ можно использовать заданную формулу:

$f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{1/3} - (\frac{1}{3})^2 = 3 - \frac{1}{9} = \frac{27}{9} - \frac{1}{9} = \frac{26}{9}$.

Таким образом, $f(-\frac{1}{3}) = -f(\frac{1}{3}) = -\frac{26}{9}$.

Найдем значение $f(-3)$

Аналогично, используя свойство нечетности, получаем $f(-3) = -f(3)$.

Аргумент $3$ положителен, вычисляем $f(3)$ по формуле:

$f(3) = \frac{1}{3} - 3^2 = \frac{1}{3} - 9 = \frac{1}{3} - \frac{27}{3} = -\frac{26}{3}$.

Следовательно, $f(-3) = -f(3) = -(-\frac{26}{3}) = \frac{26}{3}$.

Вычислим итоговое выражение

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$f(-\frac{1}{3}) - f(-3) = -\frac{26}{9} - \frac{26}{3}$.

Для вычитания приведем дроби к общему знаменателю, равному 9:

$-\frac{26}{9} - \frac{26 \cdot 3}{3 \cdot 3} = -\frac{26}{9} - \frac{78}{9} = \frac{-26 - 78}{9} = -\frac{104}{9}$.

Ответ: $-\frac{104}{9}$