Номер 5, страница 10 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. В окружность с радиусом $10 \text{ см}$ вписан треугольник, одна из сторон которого является диаметром, а другая — равна $16 \text{ см}$. Найдите площадь этого треугольника.

Поскольку одна из сторон вписанного треугольника является диаметром окружности, этот треугольник является прямоугольным. Угол, противолежащий диаметру, является прямым ($90^\circ$), а сам диаметр — гипотенузой этого треугольника.

Найдем длину гипотенузы $c$. Она равна диаметру окружности. Радиус окружности $R = 10$ см, значит, диаметр $d = 2R$.

$c = d = 2 \times 10 = 20$ см.

По условию, длина другой стороны равна $16$ см. Эта сторона является одним из катетов прямоугольного треугольника. Обозначим его как $a = 16$ см.

Чтобы найти площадь треугольника, нам нужно знать длину второго катета $b$. Найдем ее с помощью теоремы Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим известные значения:

$16^2 + b^2 = 20^2$

$256 + b^2 = 400$

$b^2 = 400 - 256$

$b^2 = 144$

$b = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь мы знаем длины обоих катетов: $a = 16$ см и $b = 12$ см. Площадь прямоугольного треугольника $S$ равна половине произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 8 \cdot 12 = 96$ см$^2$.

Ответ: площадь треугольника равна $96$ см$^2$.