Номер 10, страница 11 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Решите уравнение $$(x^2 + 4x + 5)^2 - 16(x^2 + 4x + 5) = 17$$

В ответ запишите целые корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $$|x| \le 3$$

Для решения уравнения $(x^2 + 4x + 5)^2 - 16(x^2 + 4x + 5) = 17$ удобно использовать метод замены переменной, так как выражение $x^2 + 4x + 5$ повторяется.

Пусть $t = x^2 + 4x + 5$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$t^2 - 16t = 17$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 16t - 17 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна $16$, а их произведение равно $-17$. Подбором находим корни:

$t_1 = 17$ и $t_2 = -1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$, чтобы найти $x$.

1. При $t = 17$:

$x^2 + 4x + 5 = 17$

$x^2 + 4x - 12 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его, например, с помощью дискриминанта:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$

$x_{1,2} = \frac{-4 \pm 8}{2}$

$x_1 = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

2. При $t = -1$:

$x^2 + 4x + 5 = -1$

$x^2 + 4x + 6 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$

Поскольку дискриминант $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Таким образом, целыми корнями исходного уравнения являются $x = 2$ и $x = -6$.

По условию задачи, в ответ нужно записать только те целые корни, которые удовлетворяют неравенству $|x| \le 3$. Это неравенство равносильно двойному неравенству $-3 \le x \le 3$.

Проверим каждый корень:

Для корня $x = 2$: $|2| = 2$. Так как $2 \le 3$, этот корень удовлетворяет условию.

Для корня $x = -6$: $|-6| = 6$. Так как $6 > 3$, этот корень не удовлетворяет условию.

Следовательно, только один корень удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: 2