Номер 8, страница 11 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 7.

Все двузначные натуральные числа, которые при делении на 13 дают в остатке 7, можно описать формулой:

$x = 13k + 7$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Двузначные числа находятся в диапазоне от 10 до 99. Чтобы найти интересующие нас числа, необходимо найти все значения $k$, для которых $x$ будет двузначным. Составим и решим двойное неравенство:

$10 \le 13k + 7 \le 99$

Вычтем 7 из всех частей неравенства:

$10 - 7 \le 13k \le 99 - 7$

$3 \le 13k \le 92$

Теперь разделим все части неравенства на 13:

$\frac{3}{13} \le k \le \frac{92}{13}$

Приблизительные значения:

$0.23 \le k \le 7.07$

Поскольку $k$ должно быть целым числом, его возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Найденные числа образуют арифметическую прогрессию. Найдем ее первый и последний члены.

Первый член прогрессии $a_1$ (соответствует $k=1$):

$a_1 = 13 \cdot 1 + 7 = 20$

Последний член прогрессии $a_n$ (соответствует $k=7$):

$a_n = 13 \cdot 7 + 7 = 91 + 7 = 98$

Количество членов в этой прогрессии $n$ равно количеству возможных значений $k$, то есть $n=7$.

Для нахождения суммы членов арифметической прогрессии используем формулу:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим наши значения в формулу:

$S_7 = \frac{20 + 98}{2} \cdot 7 = \frac{118}{2} \cdot 7 = 59 \cdot 7 = 413$

Ответ: 413