Номер 9, страница 11 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Внутри угла $A$, равного $60^\circ$, взята точка $M$. Расстояния от точки $M$ до сторон угла равны 4 см и 8 см. Найдите расстояние от точки $M$ до вершины угла $A$.

Пусть стороны угла A - это лучи AC и AB, так что $ \angle CAB = 60^\circ $. Пусть M - точка внутри угла. Обозначим P и Q основания перпендикуляров, опущенных из точки M на стороны AB и AC соответственно. Тогда MP - это расстояние от точки M до стороны AB, а MQ - расстояние от точки M до стороны AC. Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра.

По условию задачи, нам даны длины этих перпендикуляров: $ MP = 4 $ см и $ MQ = 8 $ см. Поскольку M находится внутри угла, мы имеем $ MP \perp AB $ и $ MQ \perp AC $. Это означает, что $ \angle APM = 90^\circ $ и $ \angle AQM = 90^\circ $. Искомая величина — это длина отрезка AM.

Рассмотрим четырехугольник APMQ. Сумма углов в любом четырехугольнике составляет $ 360^\circ $. Нам известны три угла этого четырехугольника:

• $ \angle PAQ = \angle A = 60^\circ $
• $ \angle APM = 90^\circ $
• $ \angle AQM = 90^\circ $

Найдем четвертый угол, $ \angle PMQ $: $ \angle PMQ = 360^\circ - \angle PAQ - \angle APM - \angle AQM = 360^\circ - 60^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 120^\circ $.

Так как сумма противоположных углов $ \angle APM + \angle AQM = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $, вокруг четырехугольника APMQ можно описать окружность. Более того, поскольку углы $ \angle APM $ и $ \angle AQM $ прямые, они опираются на диаметр. Следовательно, отрезок AM является диаметром этой окружности.

Теперь рассмотрим треугольник PMQ. В нем известны две стороны $ MP = 4 $ см, $ MQ = 8 $ см и угол между ними $ \angle PMQ = 120^\circ $. Мы можем найти длину третьей стороны PQ, используя теорему косинусов: $ PQ^2 = MP^2 + MQ^2 - 2 \cdot MP \cdot MQ \cdot \cos(\angle PMQ) $

Подставим известные значения: $ PQ^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ) $

Зная, что $ \cos(120^\circ) = -0.5 $, получаем: $ PQ^2 = 16 + 64 - 64 \cdot (-0.5) = 80 + 32 = 112 $

Следовательно, $ PQ = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7} $ см.

Отрезок PQ является хордой в окружности, описанной около четырехугольника APMQ. Эта хорда стягивает дугу, на которую опирается вписанный угол $ \angle PAQ = 60^\circ $. Длина хорды связана с диаметром окружности (в нашем случае это AM) и вписанным углом, который на нее опирается, по формуле: $ \text{хорда} = \text{диаметр} \cdot \sin(\text{угол}) $. $ PQ = AM \cdot \sin(\angle PAQ) $

Подставим известные нам значения $ PQ = 4\sqrt{7} $ и $ \angle PAQ = 60^\circ $: $ 4\sqrt{7} = AM \cdot \sin(60^\circ) $ $ 4\sqrt{7} = AM \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь выразим AM: $ AM = \frac{4\sqrt{7} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{7}}{\sqrt{3}} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} $: $ AM = \frac{8\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{21}}{3} $ см.

Ответ: $ \frac{8\sqrt{21}}{3} $ см.