Номер 6, страница 12 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Найдите значение выражения $\frac{b - 5}{b - 2\sqrt{5b} + 5}$ при $b=20$.

Для нахождения значения выражения $\frac{b-5}{b - 2\sqrt{5b} + 5}$ при $b = 20$, сначала упростим данное выражение.

Заметим, что числитель $b-5$ является разностью квадратов. Его можно разложить на множители, представив $b$ как $(\sqrt{b})^2$ и $5$ как $(\sqrt{5})^2$:
$b - 5 = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{b} - \sqrt{5})(\sqrt{b} + \sqrt{5})$.

Знаменатель $b - 2\sqrt{5b} + 5$ является полным квадратом разности. Его можно свернуть по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = \sqrt{b}$ и $y = \sqrt{5}$:
$b - 2\sqrt{5b} + 5 = (\sqrt{b})^2 - 2 \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{b} - \sqrt{5})^2$.

Теперь перепишем исходную дробь, используя полученные разложения:
$\frac{b-5}{b - 2\sqrt{5b} + 5} = \frac{(\sqrt{b} - \sqrt{5})(\sqrt{b} + \sqrt{5})}{(\sqrt{b} - \sqrt{5})^2}$.

При $b=20$, выражение в скобках $(\sqrt{b} - \sqrt{5})$ не равно нулю, поэтому мы можем сократить дробь на этот множитель:
$\frac{\sqrt{b} + \sqrt{5}}{\sqrt{b} - \sqrt{5}}$.

Подставим значение $b = 20$ в упрощенное выражение:
$\frac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{20} - \sqrt{5}}$.

Упростим $\sqrt{20}$, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.

Подставим $2\sqrt{5}$ в выражение и выполним вычисления:
$\frac{2\sqrt{5} + \sqrt{5}}{2\sqrt{5} - \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{1\sqrt{5}} = 3$.

Ответ: 3