Номер 10, страница 13 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Решите уравнение $(x^2 + 2x + 3)^2 - 17(x^2 + 2x + 3) = 18$.

В ответ запишите целые корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $|x| \le 4$.

Данное уравнение $(x^2 + 2x + 3)^2 - 17(x^2 + 2x + 3) = 18$ решается методом замены переменной. Заметим, что выражение $x^2 + 2x + 3$ повторяется.

Введем замену: пусть $t = x^2 + 2x + 3$. Тогда исходное уравнение примет вид: $t^2 - 17t = 18$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $t^2 - 17t - 18 = 0$

Найдем корни этого уравнения относительно переменной $t$. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна 17, а их произведение равно -18. Подбором находим, что корнями являются числа 18 и -1. $t_1 = 18$ $t_2 = -1$

Теперь выполним обратную замену, рассмотрев два случая.

Случай 1: $t = 18$
$x^2 + 2x + 3 = 18$
$x^2 + 2x - 15 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Снова применим теорему Виета: сумма корней равна -2, а произведение -15. Отсюда корни: $x_1 = 3$ $x_2 = -5$

Случай 2: $t = -1$
$x^2 + 2x + 3 = -1$
$x^2 + 2x + 4 = 0$
Для решения найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, все действительные корни исходного уравнения — это $x=3$ и $x=-5$. Оба корня являются целыми.

Согласно условию задачи, необходимо в ответ записать только те целые корни, которые удовлетворяют неравенству $|x| \le 4$. Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-4 \le x \le 4$.

Проверим каждый из найденных корней:

• Корень $x = 3$: удовлетворяет условию, так как $-4 \le 3 \le 4$.
• Корень $x = -5$: не удовлетворяет условию, так как $-5 < -4$.

Единственный корень, удовлетворяющий всем условиям, это $x=3$.

Ответ: 3