Номер 5, страница 14 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Высоты параллелограмма, проведенные из вершины тупого угла, равны 6 см и 9 см. Периметр параллелограмма равен 40 см. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а высоты, проведенные к этим сторонам из вершины тупого угла, равны $h_a$ и $h_b$ соответственно.

Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию задачи, $P = 40$ см.
$2(a+b) = 40$
$a+b = 20$ см.

Площадь параллелограмма $S$ можно найти, умножив сторону на высоту, проведенную к этой стороне: $S = a \cdot h_a$ или $S = b \cdot h_b$. Отсюда следует, что $a \cdot h_a = b \cdot h_b$.

Заданные высоты равны 6 см и 9 см. Важно помнить, что в параллелограмме большей стороне соответствует меньшая высота, а меньшей стороне — большая.
Пусть $a$ — большая сторона, а $b$ — меньшая. Тогда к стороне $a$ проведена меньшая высота $h_a = 6$ см, а к стороне $b$ — большая высота $h_b = 9$ см.

Подставим значения высот в равенство площадей:
$a \cdot 6 = b \cdot 9$
Разделив обе части на 3, получим:
$2a = 3b$, откуда $a = \frac{3}{2}b = 1.5b$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $a+b = 20$
2) $a = 1.5b$

Подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое:
$1.5b + b = 20$
$2.5b = 20$
$b = \frac{20}{2.5} = 8$ см.

Теперь найдем длину второй стороны $a$:
$a = 1.5 \cdot b = 1.5 \cdot 8 = 12$ см.

Итак, стороны параллелограмма равны 12 см и 8 см. Теперь мы можем вычислить площадь, используя любую из формул.
$S = a \cdot h_a = 12 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 72 \text{ см}^2$.
Для проверки можно использовать вторую пару:
$S = b \cdot h_b = 8 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 72 \text{ см}^2$.
Результаты совпадают, следовательно, решение верное.

Ответ: 72 см².