Номер 8, страница 15 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Определите число решений системы уравнений

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ y = -x^2 + 4. \end{cases}$$

Ответ обоснуйте.

Для определения числа решений системы уравнений можно использовать графический или аналитический (алгебраический) метод. Число решений соответствует количеству точек пересечения графиков функций, заданных уравнениями системы.

1. Графический метод.

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 16$ задает окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

Второе уравнение $y = -x^2 + 4$ задает параболу. Это стандартная парабола $y = -x^2$, смещенная на 4 единицы вверх по оси OY. Ее ветви направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 4)$.

Рассмотрим взаимное расположение этих графиков. Вершина параболы, точка $(0, 4)$, лежит на окружности, так как при подстановке ее координат в уравнение окружности получается верное равенство: $0^2 + 4^2 = 16$. Это означает, что парабола и окружность касаются в этой точке.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, они уходят "внутрь" окружности. Так как и парабола, и окружность симметричны относительно оси OY, парабола должна пересечь окружность еще в двух точках, расположенных симметрично относительно этой оси.

Таким образом, мы имеем одну точку касания и две точки пересечения, что в сумме дает 3 общие точки. Следовательно, система имеет три решения.

2. Аналитический метод.

Решим систему уравнений методом подстановки.
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ y = -x^2 + 4 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x^2$:
$x^2 = 4 - y$
Подставим полученное выражение для $x^2$ в первое уравнение:
$(4 - y) + y^2 = 16$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 - y + 4 - 16 = 0$
$y^2 - y - 12 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета или через дискриминант.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
$y_1 = \frac{-(-1) + 7}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4$
$y_2 = \frac{-(-1) - 7}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = -3$

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующие значения $x$ из уравнения $x^2 = 4 - y$.

При $y_1 = 4$:
$x^2 = 4 - 4 = 0$, что дает $x = 0$.
Таким образом, первое решение системы — это точка $(0, 4)$.

При $y_2 = -3$:
$x^2 = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7$, что дает два значения для $x$: $x = \sqrt{7}$ и $x = -\sqrt{7}$.
Таким образом, мы получаем еще два решения: $(\sqrt{7}, -3)$ и $(-\sqrt{7}, -3)$.

В итоге мы нашли три уникальные пары $(x, y)$, которые удовлетворяют обоим уравнениям системы: $(0, 4)$, $(\sqrt{7}, -3)$, $(-\sqrt{7}, -3)$. Это подтверждает, что система имеет ровно три решения.

Ответ: 3