Номер 5, страница 16 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Высоты параллелограмма, проведенные из вершины тупого угла, равны 10 см и 6 см. Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию задачи периметр равен 48 см, следовательно, мы можем найти сумму длин смежных сторон: $2(a+b) = 48 \text{ см}$
$a+b = 24 \text{ см}$

Пусть высоты, проведенные к сторонам $a$ и $b$, равны $h_a$ и $h_b$ соответственно. По условию, высоты равны 10 см и 6 см. В параллелограмме большей стороне соответствует меньшая высота, и наоборот. Поэтому, если мы обозначим сторону, к которой проведена высота 10 см, как $a$, а сторону, к которой проведена высота 6 см, как $b$, то должно выполняться неравенство $a < b$. Таким образом, $h_a = 10 \text{ см}$ и $h_b = 6 \text{ см}$.

Площадь параллелограмма $S$ можно вычислить по формуле "основание на высоту". Мы можем записать это двумя способами: $S = a \cdot h_a$ и $S = b \cdot h_b$. Поскольку площадь одна и та же, мы можем приравнять эти выражения: $a \cdot h_a = b \cdot h_b$
Подставим известные значения высот: $a \cdot 10 = b \cdot 6$
$10a = 6b$
Упростив это соотношение, получим: $5a = 3b$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $a$ и $b$: $ \begin{cases} a + b = 24 \\ 5a = 3b \end{cases} $
Из первого уравнения выразим одну переменную через другую, например, $a = 24 - b$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $5(24 - b) = 3b$
$120 - 5b = 3b$
$120 = 8b$
$b = \frac{120}{8} = 15 \text{ см}$

Теперь найдем длину стороны $a$: $a = 24 - b = 24 - 15 = 9 \text{ см}$.

Зная длины сторон, мы можем вычислить площадь параллелограмма. Воспользуемся любой из двух формул для площади: $S = a \cdot h_a = 9 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 90 \text{ см}^2$.
Для проверки используем вторую формулу: $S = b \cdot h_b = 15 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 90 \text{ см}^2$.
Результаты совпадают, следовательно, площадь найдена верно.

Ответ: $90 \text{ см}^2$.