Номер 8, страница 17 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Определите число решений системы уравнений

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = -x^2 + 3. \end{cases}$

Ответ обоснуйте.

Для определения числа решений системы уравнений решим ее методом подстановки.

Дана система:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ y = -x^2 + 3 \end{cases} $$

Из второго уравнения $y = -x^2 + 3$ выразим $x^2$ через $y$:

$x^2 = 3 - y$

Подставим это выражение для $x^2$ в первое уравнение $x^2 + y^2 = 9$:

$(3 - y) + y^2 = 9$

Получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Приведем его к стандартному виду $ay^2+by+c=0$:

$y^2 - y + 3 - 9 = 0$

$y^2 - y - 6 = 0$

Решим это уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$

$y_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2$

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующие значения $x$ из уравнения $x^2 = 3 - y$.

Случай 1: $y = 3$

Подставляем значение $y_1$:

$x^2 = 3 - 3 = 0$

Отсюда $x = 0$. Таким образом, первое решение системы: $(0, 3)$.

Случай 2: $y = -2$

Подставляем значение $y_2$:

$x^2 = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5$

Отсюда $x = \pm\sqrt{5}$. Таким образом, получаем еще два решения: $(\sqrt{5}, -2)$ и $(-\sqrt{5}, -2)$.

Всего мы нашли три различных решения системы уравнений.

Обоснование ответа

Число решений системы уравнений соответствует числу точек пересечения графиков уравнений, входящих в систему. Проанализируем графики уравнений:

1. Уравнение $x^2 + y^2 = 9$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.

2. Уравнение $y = -x^2 + 3$ задает параболу, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с координатами $x_v = 0$ и $y_v = -0^2 + 3 = 3$. Таким образом, вершина параболы — точка $(0, 3)$.

Сравним расположение графиков. Точка $(0, 3)$, являющаяся вершиной параболы, также лежит на окружности, так как ее координаты удовлетворяют уравнению окружности: $0^2 + 3^2 = 9$. Это означает, что парабола касается окружности в своей вершине, и эта точка является одним из решений системы.

Поскольку ветви параболы направлены вниз от точки касания $(0, 3)$, парабола проходит внутри окружности. Следовательно, она должна пересечь окружность еще в двух точках, симметричных относительно оси $y$. Эти две точки пересечения соответствуют двум другим решениям, которые мы нашли алгебраически: $(\sqrt{5}, -2)$ и $(-\sqrt{5}, -2)$.

Таким образом, графики пересекаются ровно в трех точках, что подтверждает наличие трех решений у системы.

Ответ: 3.