Номер 5, страница 18 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции, $AD = 10 \text{ см}$, $AO = 6 \text{ см}$, $OC = 3 \text{ см}$. Найдите среднюю линию трапеции.

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Поскольку $AD$ и $BC$ являются основаниями трапеции, они параллельны ($AD \parallel BC$).

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$.
Углы $\angle CAD$ и $\angle ACB$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$, $BC$ и секущей $AC$.
Аналогично, углы $\angle ADB$ и $\angle CBD$ равны как накрест лежащие при тех же параллельных прямых $AD$, $BC$ и секущей $BD$.
Таким образом, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ подобны по двум углам (первый признак подобия).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. Запишем пропорцию для известных и искомой сторон:
$ \frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} $

В условии даны длины: $AD = 10$ см, $AO = 6$ см, $OC = 3$ см. Подставим эти значения в пропорцию, чтобы найти длину основания $BC$:
$ \frac{6}{3} = \frac{10}{BC} $
$ 2 = \frac{10}{BC} $
$ BC = \frac{10}{2} = 5 $ см.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований. Пусть $m$ — длина средней линии. Формула для ее вычисления:
$ m = \frac{AD + BC}{2} $

Теперь подставим известные значения длин оснований $AD=10$ см и найденное значение $BC=5$ см:
$ m = \frac{10 + 5}{2} = \frac{15}{2} = 7,5 $ см.

Ответ: 7,5 см.