Номер 9, страница 19 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 7 и в остатке 6. Если это же двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3 и в остатке 11. Найдите это двузначное число.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Согласно определению двузначного числа, $a$ может быть любым целым числом от 1 до 9, а $b$ — от 0 до 9. Сумма его цифр равна $a+b$, а произведение — $a \cdot b$.

Из первого условия задачи известно, что при делении числа на сумму его цифр в частном получается 7, а в остатке 6. Это можно записать в виде математического уравнения:

$10a + b = 7(a + b) + 6$

Важным следствием деления с остатком является то, что остаток всегда меньше делителя, то есть $6 < a+b$.

Упростим полученное уравнение:

$10a + b = 7a + 7b + 6$

$10a - 7a = 7b - b + 6$

$3a = 6b + 6$

Разделив обе части уравнения на 3, получим:

$a = 2b + 2$

Из второго условия задачи известно, что при делении этого же числа на произведение его цифр в частном получается 3, а в остатке 11. Запишем второе уравнение:

$10a + b = 3(a \cdot b) + 11$

Здесь также остаток должен быть меньше делителя: $11 < a \cdot b$. Из этого неравенства следует, что ни $a$, ни $b$ не могут быть равны нулю.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a = 2b + 2 \\ 10a + b = 3ab + 11 \end{cases}$

Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:

$10(2b + 2) + b = 3(2b + 2)b + 11$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$20b + 20 + b = 6b^2 + 6b + 11$

$21b + 20 = 6b^2 + 6b + 11$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$6b^2 + 6b - 21b + 11 - 20 = 0$

$6b^2 - 15b - 9 = 0$

Для удобства разделим уравнение на 3:

$2b^2 - 5b - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $b$, например, с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$

Найдем корни уравнения:

$b = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$

Получаем два возможных решения для $b$:

$b_1 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$b_2 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Поскольку $b$ — это цифра, она должна быть целым неотрицательным числом. Следовательно, единственное подходящее значение — $b=3$.

Теперь найдем значение $a$, подставив $b=3$ в уравнение $a = 2b + 2$:

$a = 2 \cdot 3 + 2 = 6 + 2 = 8$

Таким образом, искомое число состоит из цифр $a=8$ и $b=3$. Это число 83.

Проверка

Проверим, удовлетворяет ли число 83 условиям задачи:

1. Сумма цифр: $8 + 3 = 11$. Деление 83 на 11: $83 \div 11 = 7$ (остаток $6$), так как $7 \cdot 11 + 6 = 77 + 6 = 83$. Первое условие выполнено.

2. Произведение цифр: $8 \cdot 3 = 24$. Деление 83 на 24: $83 \div 24 = 3$ (остаток $11$), так как $3 \cdot 24 + 11 = 72 + 11 = 83$. Второе условие выполнено.

Оба условия соблюдаются, значит, число найдено верно.

Ответ: 83.