Номер 8, страница 19 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Решите уравнение $ \frac{5}{x^2 - x - 6} + \frac{1}{x + 2} = -1. $

Данное уравнение является дробно-рациональным.

$ \frac{5}{x^2 - x - 6} + \frac{1}{x + 2} = -1 $

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому должны выполняться следующие условия:

$x^2 - x - 6 \neq 0$

$x + 2 \neq 0$

Для первого условия решим квадратное уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. Найдем его корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$. $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2} = 3$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2} = -2$.

Следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq -2$.

Второе условие $x + 2 \neq 0$ дает $x \neq -2$.

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x$ может быть любым числом, кроме $3$ и $-2$.

Теперь приступим к решению уравнения. Разложим знаменатель первой дроби на множители, используя найденные корни: $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$.

Подставим это в исходное уравнение:

$ \frac{5}{(x - 3)(x + 2)} + \frac{1}{x + 2} = -1 $

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x - 3)(x + 2)$. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на множитель $(x - 3)$:

$ \frac{5}{(x - 3)(x + 2)} + \frac{1 \cdot (x - 3)}{(x + 2)(x - 3)} = -1 $

Теперь сложим дроби в левой части:

$ \frac{5 + (x - 3)}{(x - 3)(x + 2)} = -1 $

$ \frac{x + 2}{(x - 3)(x + 2)} = -1 $

Согласно ОДЗ, $x \neq -2$, поэтому выражение $(x + 2)$ не равно нулю. Это позволяет нам сократить дробь на $(x + 2)$:

$ \frac{1}{x - 3} = -1 $

Умножим обе части уравнения на $(x - 3)$, что также не равно нулю по ОДЗ ($x \neq 3$):

$ 1 = -1 \cdot (x - 3) $

$ 1 = -x + 3 $

Перенесем $x$ в левую часть, а $1$ в правую:

$ x = 3 - 1 $

$ x = 2 $

Полученный корень $x = 2$ не противоречит области допустимых значений (поскольку $2 \neq 3$ и $2 \neq -2$). Следовательно, это и есть решение уравнения.

Ответ: $2$.