Номер 6, страница 19 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Упростите выражение

$\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} - \frac{x+4\sqrt{xy}+4y}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}$.

Данное выражение представляет собой разность двух дробей: $\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} - \frac{x+4\sqrt{xy}+4y}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}$. Упростим каждую дробь по отдельности.

Рассмотрим первую дробь $\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$. Числитель $x-y$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов, представив $x$ как $(\sqrt{x})^2$ и $y$ как $(\sqrt{y})^2$.
$x-y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$.
Подставим это выражение в числитель первой дроби и сократим:
$\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \sqrt{x}-\sqrt{y}$.

Рассмотрим вторую дробь $\frac{x+4\sqrt{xy}+4y}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}$. Числитель $x+4\sqrt{xy}+4y$ является полным квадратом суммы. Это можно увидеть, применив формулу $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, где $a=\sqrt{x}$ и $b=2\sqrt{y}$.
$a^2 = (\sqrt{x})^2 = x$
$b^2 = (2\sqrt{y})^2 = 4y$
$2ab = 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{y} = 4\sqrt{xy}$
Таким образом, $x+4\sqrt{xy}+4y = (\sqrt{x}+2\sqrt{y})^2$.
Подставим это выражение в числитель второй дроби и сократим:
$\frac{(\sqrt{x}+2\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}} = \sqrt{x}+2\sqrt{y}$.

Теперь выполним вычитание упрощенных выражений:
$(\sqrt{x}-\sqrt{y}) - (\sqrt{x}+2\sqrt{y})$.
Раскроем скобки, изменив знаки у второго выражения на противоположные:
$\sqrt{x}-\sqrt{y} - \sqrt{x} - 2\sqrt{y}$.
Приведем подобные слагаемые:
$(\sqrt{x} - \sqrt{x}) + (-\sqrt{y} - 2\sqrt{y}) = 0 - 3\sqrt{y} = -3\sqrt{y}$.

Ответ: $-3\sqrt{y}$.