Номер 10, страница 19 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Внутри параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$, такая, что $S_{BMC} = 6 \text{ см}^2$, $S_{AMD} = 10 \text{ см}^2$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм, а $M$ — точка внутри него. По условию, площадь треугольника $BMC$ равна $S_{BMC} = 6 \text{ см}^2$, а площадь треугольника $AMD$ равна $S_{AMD} = 10 \text{ см}^2$.

Обозначим длину стороны $AD$ как $a$. Поскольку в параллелограмме противолежащие стороны равны, то $BC = AD = a$.

Проведем высоту параллелограмма $h$, перпендикулярную основаниям $AD$ и $BC$. Теперь проведем через точку $M$ отрезки, перпендикулярные сторонам $AD$ и $BC$. Пусть $h_1$ — это высота треугольника $BMC$, проведенная из вершины $M$ к основанию $BC$, а $h_2$ — высота треугольника $AMD$, проведенная из вершины $M$ к основанию $AD$. Так как точка $M$ лежит внутри параллелограмма, сумма этих высот равна высоте самого параллелограмма: $h = h_1 + h_2$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Используя эту формулу, запишем площади данных треугольников:

$S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1 = \frac{1}{2} a h_1 = 6 \text{ см}^2$

$S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2 = \frac{1}{2} a h_2 = 10 \text{ см}^2$

Сложим площади этих двух треугольников:

$S_{BMC} + S_{AMD} = \frac{1}{2} a h_1 + \frac{1}{2} a h_2 = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2)$

Подставим $h$ вместо $h_1 + h_2$:

$S_{BMC} + S_{AMD} = \frac{1}{2} a h$

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна произведению его основания на высоту: $S_{ABCD} = a \cdot h$. Таким образом, мы видим, что сумма площадей треугольников $BMC$ и $AMD$ равна половине площади всего параллелограмма:

$S_{BMC} + S_{AMD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$

Теперь подставим известные числовые значения:

$6 \text{ см}^2 + 10 \text{ см}^2 = \frac{1}{2} S_{ABCD}$

$16 \text{ см}^2 = \frac{1}{2} S_{ABCD}$

Отсюда находим площадь параллелограмма $ABCD$:

$S_{ABCD} = 16 \cdot 2 = 32 \text{ см}^2$

Ответ: $32 \text{ см}^2$.