Номер 6, страница 21 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Упростите выражение

$\frac{x + 2\sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} - \frac{4x - y}{2\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

Для упрощения данного выражения преобразуем каждую из дробей по отдельности. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения: $x \ge 0$, $y \ge 0$, и знаменатели не равны нулю, то есть $\sqrt{x} + \sqrt{y} \neq 0$ и $2\sqrt{x} - \sqrt{y} \neq 0$.

1. Упростим первую дробь $ \frac{x + 2\sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} $.

Числитель $ x + 2\sqrt{xy} + y $ можно представить как квадрат суммы. Используя формулу сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, где $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, получаем:

$ x + 2\sqrt{xy} + y = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 $.

Теперь подставим это в первую дробь и сократим:

$ \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \sqrt{x} + \sqrt{y} $.

2. Упростим вторую дробь $ \frac{4x - y}{2\sqrt{x} - \sqrt{y}} $.

Числитель $ 4x - y $ можно разложить на множители как разность квадратов. Используя формулу $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 2\sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, получаем:

$ 4x - y = (2\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (2\sqrt{x} - \sqrt{y})(2\sqrt{x} + \sqrt{y}) $.

Подставим это во вторую дробь и сократим:

$ \frac{(2\sqrt{x} - \sqrt{y})(2\sqrt{x} + \sqrt{y})}{2\sqrt{x} - \sqrt{y}} = 2\sqrt{x} + \sqrt{y} $.

3. Теперь подставим упрощенные дроби в исходное выражение и выполним вычитание:

$ (\sqrt{x} + \sqrt{y}) - (2\sqrt{x} + \sqrt{y}) $

Раскроем скобки:

$ \sqrt{x} + \sqrt{y} - 2\sqrt{x} - \sqrt{y} $

Приведем подобные слагаемые:

$ (\sqrt{x} - 2\sqrt{x}) + (\sqrt{y} - \sqrt{y}) = -\sqrt{x} $.

Ответ: $ -\sqrt{x} $