Номер 10, страница 21 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Внутри параллелограмма ABCD взята точка K, такая, что $S_{\text{ВКС}} = 12 \text{ см}^2$, $S_{\text{АКД}} = 20 \text{ см}^2$. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Пусть $ABCD$ — заданный параллелограмм, а $K$ — точка внутри него. Обозначим длину стороны $AD$ (а также равной ей стороны $BC$) как $a$, а высоту параллелограмма, проведенную к этой стороне, как $h$. Тогда площадь параллелограмма $S_{ABCD}$ равна произведению основания на высоту:

$S_{ABCD} = a \cdot h$

Рассмотрим треугольники $BKC$ и $AKD$. Проведем через точку $K$ прямую, перпендикулярную параллельным сторонам $BC$ и $AD$. Отрезок этой прямой, заключенный между $BC$ и $AD$, равен высоте параллелограмма $h$. Точка $K$ делит этот отрезок на две части, которые являются высотами треугольников $BKC$ и $AKD$ соответственно.

Пусть $h_1$ — высота треугольника $BKC$, проведенная из вершины $K$ к основанию $BC$. Его площадь вычисляется по формуле:

$S_{BKC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1 = \frac{1}{2} a h_1$

Пусть $h_2$ — высота треугольника $AKD$, проведенная из вершины $K$ к основанию $AD$. Его площадь вычисляется по формуле:

$S_{AKD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2 = \frac{1}{2} a h_2$

Сумма высот $h_1$ и $h_2$ равна высоте параллелограмма $h$:

$h_1 + h_2 = h$

Теперь найдем сумму площадей треугольников $BKC$ и $AKD$:

$S_{BKC} + S_{AKD} = \frac{1}{2} a h_1 + \frac{1}{2} a h_2 = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2)$

Заменив сумму высот $(h_1 + h_2)$ на $h$, получим:

$S_{BKC} + S_{AKD} = \frac{1}{2} a h$

Поскольку $a \cdot h$ — это площадь параллелограмма $S_{ABCD}$, то мы доказали, что сумма площадей этих двух треугольников равна половине площади параллелограмма:

$S_{BKC} + S_{AKD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$

Подставим в это равенство известные из условия значения площадей: $S_{BKC} = 12 \text{ см}^2$ и $S_{AKD} = 20 \text{ см}^2$.

$12 \text{ см}^2 + 20 \text{ см}^2 = \frac{1}{2} S_{ABCD}$

$32 \text{ см}^2 = \frac{1}{2} S_{ABCD}$

Отсюда находим площадь параллелограмма $ABCD$:

$S_{ABCD} = 32 \text{ см}^2 \cdot 2 = 64 \text{ см}^2$

Ответ: $64 \text{ см}^2$.