Номер 7, страница 22 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x - 4y = 2, \\ xy + 2y = 8. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - 4y = 2, \\ xy + 2y = 8. \end{cases} $

Для решения данной системы используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 2 + 4y$.

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(2 + 4y)y + 2y = 8$.

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$2y + 4y^2 + 2y = 8$

$4y^2 + 4y - 8 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $y$. Для упрощения разделим обе части уравнения на 4:

$y^2 + y - 2 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней $y_1 + y_2$ должна быть равна $-1$, а их произведение $y_1 \cdot y_2$ должно быть равно $-2$. Этим условиям удовлетворяют числа 1 и -2. Следовательно, корни уравнения:

$y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Теперь необходимо найти соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя подстановку $x = 2 + 4y$.

1. Для $y_1 = 1$:

$x_1 = 2 + 4 \cdot 1 = 2 + 4 = 6$.

Получаем первую пару решений: (6; 1).

2. Для $y_2 = -2$:

$x_2 = 2 + 4 \cdot (-2) = 2 - 8 = -6$.

Получаем вторую пару решений: (-6; -2).

Проверим найденные решения, подставив их в исходную систему уравнений.

Для пары (6; 1):

$ \begin{cases} 6 - 4(1) = 6 - 4 = 2 \\ 6(1) + 2(1) = 6 + 2 = 8 \end{cases} $

Оба равенства верны.

Для пары (-6; -2):

$ \begin{cases} -6 - 4(-2) = -6 + 8 = 2 \\ (-6)(-2) + 2(-2) = 12 - 4 = 8 \end{cases} $

Оба равенства верны.

Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: (6; 1), (-6; -2).