Номер 9, страница 23 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Определите количество целых решений неравенства

$\frac{(-x^2 - x + 6)x^2}{x^2 - x - 2} \ge 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов.

$$ \frac{(-x^2 - x + 6)x^2}{x^2 - x - 2} \ge 0 $$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$x^2 - x - 2 \neq 0$

Решим квадратное уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 2) \cup (2, +\infty)$. Точки $x=-1$ и $x=2$ будут выколотыми на числовой оси.

Теперь найдем нули функции, то есть значения $x$, при которых числитель равен нулю:

$(-x^2 - x + 6)x^2 = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $x^2 = 0 \implies x = 0$. Этот корень имеет кратность 2 (четную), поэтому при переходе через эту точку знак выражения на числовой оси меняться не будет. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), $x=0$ является решением.

2) $-x^2 - x + 6 = 0$. Умножим на -1: $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение -6. Корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$-x^2 - x + 6 = -(x-2)(x+3)$

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

Подставим разложения в исходное неравенство:

$$ \frac{-(x-2)(x+3)x^2}{(x-2)(x+1)} \ge 0 $$

Сократим дробь на $(x-2)$, помня об ограничении $x \neq 2$:

$$ \frac{-(x+3)x^2}{x+1} \ge 0 $$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$$ \frac{(x+3)x^2}{x+1} \le 0 $$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси нули числителя ($x=-3$, $x=0$) и нуль знаменателя ($x=-1$). Точки $x=-3$ и $x=0$ будут закрашенными, а точка $x=-1$ — выколотой.

Определим знаки выражения на получившихся интервалах. На интервале $(0, \infty)$ выражение положительно. При переходе через $x=0$ (корень четной кратности) знак не меняется, значит, на интервале $(-1, 0)$ выражение также положительно. При переходе через $x=-1$ знак меняется, и на интервале $(-3, -1)$ выражение отрицательно. При переходе через $x=-3$ знак снова меняется, и на интервале $(-\infty, -3)$ выражение положительно.

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это промежуток $[-3, -1)$ и изолированная точка $x=0$.

Таким образом, решение неравенства: $x \in [-3, -1) \cup \{0\}$.

Найдем целые решения, входящие в это множество. Это числа -3, -2 и 0.

Количество целых решений равно 3.

Ответ: 3