Номер 10, страница 23 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В прямоугольную трапецию с основаниями 4 и 8 вписана окружность. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция с основаниями $a$ и $b$. По условию, $a=8$ и $b=4$. Пусть $h$ — высота трапеции (боковая сторона, перпендикулярная основаниям), а $c$ — другая, наклонная боковая сторона.

Ключевым свойством для решения этой задачи является то, что если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это свойство записывается так:

$a + b = h + c$

Подставим известные значения оснований:

$8 + 4 = h + c$

$12 = h + c$

Из этого уравнения выразим длину наклонной стороны $c$ через высоту $h$:

$c = 12 - h$

Теперь проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Это разделит трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника будут высота трапеции $h$ и отрезок, равный разности оснований $a-b$. Гипотенузой будет наклонная сторона $c$.

Длина катета, лежащего на большем основании, равна:

$a - b = 8 - 4 = 4$

Применим теорему Пифагора для этого прямоугольного треугольника:

$h^2 + (a-b)^2 = c^2$

$h^2 + 4^2 = c^2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $h$ и $c$:

$c = 12 - h$

$h^2 + 16 = c^2$

Подставим выражение для $c$ из первого уравнения во второе:

$h^2 + 16 = (12 - h)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$h^2 + 16 = 144 - 24h + h^2$

Вычтем $h^2$ из обеих частей уравнения и решим его относительно $h$:

$16 = 144 - 24h$

$24h = 144 - 16$

$24h = 128$

$h = \frac{128}{24} = \frac{16}{3}$

Теперь, когда высота трапеции найдена, мы можем вычислить ее площадь по стандартной формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Подставим известные значения оснований и найденную высоту:

$S = \frac{8+4}{2} \cdot \frac{16}{3} = \frac{12}{2} \cdot \frac{16}{3} = 6 \cdot \frac{16}{3} = 2 \cdot 16 = 32$

Ответ: 32.