Номер 7, страница 24 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Решите систему уравнений $\begin{cases}x - 3y = 4, \\xy - 7y = 6.\end{cases}$

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - 3y = 4, \\ xy - 7y = 6. \end{cases} $

Для решения данной системы воспользуемся методом подстановки. Сначала выразим переменную $x$ из первого уравнения.

$x - 3y = 4$

$x = 4 + 3y$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(4 + 3y)y - 7y = 6$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$4y + 3y^2 - 7y = 6$

$3y^2 - 3y - 6 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Для удобства решения разделим все его члены на 3:

$y^2 - y - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Корни уравнения находятся по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя выражение $x = 4 + 3y$.

Если $y_1 = 2$, то:

$x_1 = 4 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10$

Таким образом, первая пара решений — $(10; 2)$.

Если $y_2 = -1$, то:

$x_2 = 4 + 3 \cdot (-1) = 4 - 3 = 1$

Таким образом, вторая пара решений — $(1; -1)$.

Выполним проверку, подставив найденные пары в исходную систему.

Для пары $(10; 2)$:

$10 - 3(2) = 10 - 6 = 4$

$10(2) - 7(2) = 20 - 14 = 6$

Оба равенства верны.

Для пары $(1; -1)$:

$1 - 3(-1) = 1 + 3 = 4$

$1(-1) - 7(-1) = -1 + 7 = 6$

Оба равенства верны.

Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: $(10; 2)$, $(1; -1)$.