Номер 9, страница 25 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Определите количество целых решений неравенства

$\frac{(-x^2 - 4x + 5)x^2}{x^2 - 2x - 3} \ge 0.$

Для решения неравенства $\frac{(-x^2 - 4x + 5)x^2}{x^2 - 2x - 3} \ge 0$ воспользуемся методом интервалов.

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен обращаться в ноль: $x^2 - 2x - 3 \ne 0$. Чтобы найти недопустимые значения $x$, решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -3. Следовательно, корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Таким образом, ОДЗ: $x \ne 3$ и $x \ne -1$.

Вторым шагом найдем нули числителя, то есть значения $x$, при которых числитель равен нулю: $(-x^2 - 4x + 5)x^2 = 0$. Это уравнение распадается на два: $x^2 = 0$ и $-x^2 - 4x + 5 = 0$. Из первого уравнения получаем $x = 0$. Второе уравнение, $x^2 + 4x - 5 = 0$, решается также по теореме Виета: сумма корней равна -4, а произведение равно -5. Корни этого уравнения: $x = 1$ и $x = -5$. Поскольку исходное неравенство нестрогое ($\ge$), то найденные нули числителя $x = -5$, $x = 0$ и $x = 1$ являются решениями, так как они входят в ОДЗ.

Теперь представим неравенство в виде, удобном для анализа знаков. Разложим числитель и знаменатель на множители: $$ \frac{-(x - 1)(x + 5)x^2}{(x - 3)(x + 1)} \ge 0 $$ Чтобы избавиться от знака "минус" перед дробью, умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $$ \frac{(x - 1)(x + 5)x^2}{(x - 3)(x + 1)} \le 0 $$

Нанесем на числовую ось нули числителя ($x=-5, x=0, x=1$) и нули знаменателя ($x=-1, x=3$). Нули числителя включаем в решение (закрашенные точки), а нули знаменателя исключаем (выколотые точки). Важно отметить, что корень $x=0$ имеет четную кратность (2), так как он происходит от множителя $x^2$. Это означает, что при переходе через эту точку знак выражения меняться не будет. Все остальные корни имеют нечетную кратность. Определим знаки выражения на интервалах, начиная с крайнего правого. При $x > 3$ (например, $x=4$) все множители положительны, значит, вся дробь положительна. Двигаясь справа налево по оси, расставим знаки: на $(3, +\infty)$ знак $+$; на $(1, 3)$ знак $-$; на $(0, 1)$ знак $+$; на $(-1, 0)$ знак $+$; на $(-5, -1)$ знак $-$; на $(-\infty, -5)$ знак $+$.

Нам нужно найти, где выражение $\le 0$. Это происходит на интервалах $(-5, -1)$ и $(1, 3)$, а также в точках, где числитель равен нулю: $x = -5, x=0, x=1$. Объединив все, получаем итоговое решение: $x \in [-5, -1) \cup \{0\} \cup [1, 3)$.

Последний шаг — найти количество целых решений. Выпишем все целые числа из полученного множества. Из промежутка $[-5, -1)$ целыми решениями являются: $-5, -4, -3, -2$. Отдельным решением является $0$. Из промежутка $[1, 3)$ целыми решениями являются: $1, 2$. Таким образом, все целые решения неравенства: $-5, -4, -3, -2, 0, 1, 2$. Их количество равно 7.

Ответ: 7