Номер 10, страница 25 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В прямоугольную трапецию с основаниями 6 и 12 вписана окружность. Найдите площадь трапеции.

10. Обозначим основания прямоугольной трапеции как $a$ и $b$, где $a=12$ и $b=6$. Пусть $h$ — высота трапеции, которая также является одной из ее боковых сторон (перпендикулярной основаниям), а $c$ — другая (наклонная) боковая сторона.

Поскольку в трапецию можно вписать окружность, она является описанным четырехугольником. Основное свойство таких четырехугольников заключается в том, что суммы длин их противолежащих сторон равны. Для нашей трапеции это свойство записывается как: $a + b = h + c$

Подставим известные значения оснований в это равенство: $12 + 6 = h + c$ $18 = h + c$

Из этого уравнения выразим длину наклонной стороны $c$ через высоту $h$: $c = 18 - h$

Теперь рассмотрим геометрию самой трапеции. Если мы проведем высоту из вершины меньшего основания к большему основанию, она отсечет от трапеции прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника будут высота трапеции $h$ и отрезок, равный разности оснований $a-b$. Гипотенузой этого треугольника будет наклонная боковая сторона $c$.

Найдем длину катета, равного разности оснований: $a - b = 12 - 6 = 6$

Применим теорему Пифагора для данного прямоугольного треугольника ($c^2 = \text{катет}_1^2 + \text{катет}_2^2$): $c^2 = h^2 + (a - b)^2$ $c^2 = h^2 + 6^2$ $c^2 = h^2 + 36$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $h$ и $c$: 1) $c = 18 - h$ 2) $c^2 = h^2 + 36$

Подставим выражение для $c$ из первого уравнения во второе: $(18 - h)^2 = h^2 + 36$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение: $18^2 - 2 \cdot 18 \cdot h + h^2 = h^2 + 36$ $324 - 36h + h^2 = h^2 + 36$ $324 - 36 = 36h$ $288 = 36h$ $h = \frac{288}{36}$ $h = 8$

Таким образом, мы нашли высоту трапеции, $h=8$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$

Подставим все известные и найденные значения в эту формулу: $S = \frac{12 + 6}{2} \cdot 8 = \frac{18}{2} \cdot 8 = 9 \cdot 8 = 72$

Ответ: 72.