Номер 6, страница 24 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Треугольник $ABC$ — прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$), $BC = 6$ см,проекция катета $AC$ на гипотенузу равна $5$ см. Найдитедлину гипотенузы треугольника $ABC$.

Пусть $ABC$ — прямоугольный треугольник, где $\angle C = 90^\circ$. $BC = 6$ см — это один из катетов.

Проведем высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$. Точка $H$ лежит на $AB$.

Отрезок $AH$ является проекцией катета $AC$ на гипотенузу $AB$. По условию, $AH = 5$ см.

Отрезок $BH$ является проекцией катета $BC$ на гипотенузу $AB$.

Длина гипотенузы $AB = AH + BH$.

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Для катета $BC$ это соотношение выглядит так: $BC^2 = AB \cdot BH$

Обозначим длину гипотенузы $AB$ через $x$. Тогда $BH = AB - AH = x - 5$.

Подставим известные значения в формулу: $6^2 = x \cdot (x - 5)$

Решим полученное уравнение: $36 = x^2 - 5x$ $x^2 - 5x - 36 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$ $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Так как длина гипотенузы ($x$) не может быть отрицательной, то подходит только корень $x_1 = 9$.

Следовательно, длина гипотенузы треугольника $ABC$ равна 9 см.

Ответ: 9 см.