Номер 8, страница 25 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Для перевозки 140 т груза фирма рассматривала модели грузовых автомобилей МАЗ-5551. После изучения условий аренды было решено использовать грузовой автомобиль грузоподъемностью на 3 т меньше. В результате для перевозки груза понадобилось сделать на 6 рейсов больше, чем планировалось. Найдите грузоподъемность машины, на которой перевезли груз.

Пусть $x$ (т) — грузоподъемность автомобиля, который фирма планировала использовать изначально. В этом случае для перевозки 140 т груза потребовалось бы совершить $\frac{140}{x}$ рейсов.

По условию, было решено использовать автомобиль с грузоподъемностью на 3 т меньше, то есть его грузоподъемность составила $(x-3)$ т. Для перевозки всего груза на этой машине потребовалось $\frac{140}{x-3}$ рейсов.

В результате количество рейсов оказалось на 6 больше, чем планировалось. На основе этого можно составить уравнение: $$ \frac{140}{x-3} - \frac{140}{x} = 6 $$

Для решения уравнения определим область допустимых значений. Так как грузоподъемность $(x-3)$ должна быть положительной, то $x > 3$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x-3)$: $$ \frac{140x - 140(x-3)}{x(x-3)} = 6 $$

Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{140x - 140x + 420}{x^2 - 3x} = 6 $$ $$ \frac{420}{x^2 - 3x} = 6 $$

Теперь умножим обе части уравнения на знаменатель $(x^2 - 3x)$: $$ 420 = 6(x^2 - 3x) $$

Разделим обе части на 6: $$ 70 = x^2 - 3x $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ x^2 - 3x - 70 = 0 $$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{289} = 17$.

Найдем корни уравнения: $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 17}{2} = \frac{20}{2} = 10 $$ $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 17}{2} = \frac{-14}{2} = -7 $$

Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет условию $x > 3$, так как грузоподъемность не может быть отрицательной. Следовательно, изначально планировалось использовать автомобиль грузоподъемностью 10 т.

В задаче требуется найти грузоподъемность машины, на которой в итоге перевезли груз. Эта величина на 3 т меньше планируемой: $$ 10 - 3 = 7 \text{ (т)} $$

Проверка:

Планируемое количество рейсов: $140 / 10 = 14$.

Фактическое количество рейсов: $140 / 7 = 20$.

Разница: $20 - 14 = 6$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 7 т.